Robert Elmer Horton
Robert Elmer Horton (Parma, 18 maggio 1875 – 22 aprile 1945) è stato uno scienziato statunitense, padre della moderna idrologia.
Biografia
Nel 1897, a 22 anni, conseguì il diploma universitario B.S. presso l'Albion College. Dopo il diploma, andò a lavorare da suo zio, George Rafter, un noto ingegnere civile. Rafter aveva commissionato lo studio di una briglia, i cui risultati furono analizzati e sintetizzati da Horton. Nel 1900, a 25 anni, fu chiamato a New York presso il District Engineer del United States Geological Survey. Durante i suoi studi dei flussi di New York, Horton determinò che il grado in cui la pioggia può raggiungere l'acquifero dipendeva da una certa proprietà del suolo, che egli chiamò capacità di infiltrazione (Infiltration Capacity). Analizzò e separò il ciclo dell'acqua nei processi di infiltrazione, evaporazione, intercettazione, traspirazione, deflusso superficiale, etc. Horton fu il primo a delineare e denominare queste ormai familiari parti del ciclo.
Formule trovate sperimentalmente negli anni 30 da R.E.Horton per l'infiltrazione delle acque nel suolo. Le formule valgono quando la pioggia (mm/h) è superiore alla capacità di infiltrazione f(t) ed il suolo è secco. Secco significa che al tempo To=0 in cui inizia a piovere il valore f(To) è pari a fo.
Velocità d'infiltrazione potenziale istantanea ( Infiltration Capacity ) al tempo t (mm/h)
Dove:
- ft è la velocità di infiltrazione al tempo generico t (infiltration rate mm/h al tempo t);
- fo è il valore massimo di infiltrazione per terreno secco (maximum infiltration rate mm/h al tempo To);
- fc è la velocità di infiltrazione quando il suolo è saturo (minimum infiltration rate mm/h al tempo t=infinito);
- k è la costante di riduzione specifica del suolo o costante di decadimento(1/h)
Volume d'acqua infiltrato nel suolo al tempo t (mm)
Estensione della formula di Horton (Demontis A., Demontis G., Marraccini A., Marraccini L., Musinu M.C.)
La formula di Horton può spiegarsi tramite il riempimento di un serbatoio, di capacità Ch all'equilibrio (steady state), con delle valvole a galleggiante che ne controllano l'ingresso e l'uscita. Le portate delle valvole sono proporzionali al volume contenuto nel serbatoio. La valvola d'ingresso ha portata fo quando il serbatoio è vuoto ed fc quando il serbatoio contiene Ch. All'aumentare del volume nel serbatoio la valvola d'ingresso si chiude riducendo la portata (Feed back -). La valvola di uscita ha portata nulla quando il serbatoio è vuoto e portata fc quando il serbatoio contiene Ch. All'aumentare del volume nel serbatoio la valvola si apre (Feed back +). Se C è il livello al tempo t nel serbatoio di capacità Ch, la portata istantanea in ingresso famm ammissibile al tempo t nel serbatoio, tramite la valvola d'ingresso, risulta:
Quando C=0 si ha che famm=fo. Quando C=Ch si ha che famm=fc. La portata in ingresso nel serbatoio Qinp è il valore minore fra la portata ammessa dalla valvola e la portata di pioggia. Qinp = min( famm, pioggia).
Nel caso in cui la portata di pioggia sia superiore ad famm si ha la cosiddetta saturazione dell'ingresso. In tal caso l'afflusso al serbatoio è controllato dalla valvola.
Nel caso in cui la portata di pioggia sia inferiore la valvola di ingresso non controlla l'afflusso e nel serbatoio entra l'intera portata di pioggia. Si hanno quindi due situazioni distinte di funzionamento della valvola di ingresso:
- Ingresso Saturo, quando la valvola controlla l'ingresso al serbatoio. La pioggia è maggiore di famm (Caso Horton);
- Ingresso non saturo, quando la valvola non controlla l'ingresso al serbatoio. La pioggia è minore di famm;
La portata istantanea in uscita vale Qout=C/Ch fc. Quando C=0 si ha che Qout=0. quando C=Ch si ha che Qout=fc. Scrivendo l'equazione di continuità si ha che
![{\displaystyle \ [Qinp-Qout=dC/dt]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bebeb90383e0a2c60b6f8143ba7bc4ea20ef97)
Integrando rispetto al tempo si ottiene,
A ) Per piogge superiori al valore famm (INPUT SATURO)
.
Co è il volume contenuto nel serbatoio al tempo 0. Sostituendo C(t) in f si ottiene f(t)
![{\displaystyle f(t)=fo-{(fo-fc) \over Ch}[{(Co-Ch)}e^{{-fo \over Ch}t}+Ch]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f27f9962c87e3f7f234c977c80c9d8d1355672)
Nel caso in cui Co=0, ovvero serbatoio vuoto al tempo 0, corrispondente al caso Horton di terreno secco, si riottiene la formula sperimentale trovata da R.E.Horton (posto k=fo/Ch):
Il volume entrato nel serbatoio al tempo T risulta pari a:
Nel caso in cui Co=0 al tempo 0, ovvero serbatoio vuoto, corrispondente al caso Horton di terreno secco, si riottiene la formula sperimentale trovata da R.E.Horton (posto k=fo/Ch):
![{\displaystyle \ F(T)={{f_{c}}T+{(fo-fc) \over fo}[(Co-Ch)][e^{{-Fo \over Ch}T}-1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf72d6fae24929c6997c2fa636fa93b2b3003dff)
![{\displaystyle \ F(T)=f_{c}T+{(fo-fc) \over k}[1-e^{-kT}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30687a0698c9de509553e6d33bb7f0fa217c37fd)
B ) Per piogge inferiori al valore famm(INPUT non SATURO)
![{\displaystyle \ C(t)={[Co-{[RAIN]Ch \over F_{c}}]}{e^{{-F_{c} \over Ch}t}}+{[RAIN]Ch \over F_{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321f24fa0f4bbb8d0e3194a7fce3b8f3eb627d2c)
C ) Calcolo Tsw (Ponding Time)per piogge inferiori al valore famm(INPUT non SATURO)
![{\displaystyle \ {Tsw}={-Ch \over Fc}\cdot ln{[Fo-[RAIN]\cdot {(Fo-Fc) \over Fc}-[RAIN]] \over [{(Fo-Fc) \over Ch}\cdot {(Co-{[RAIN]Ch \over Fc})}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d9e35e835c1cc0dec9721e7d756fb25d522748)
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