Coefficiente di clustering

Nella teoria dei grafi, il coefficiente di clustering (o transitività) è la misura del grado in cui i nodi di un grafo tendono ad essere connessi fra loro.

L'evidenza suggerisce che nella maggiorparte delle reti del mondo reale, e in particolare nelle reti sociali, i nodi tendono a creare gruppi fortemente uniti e caratterizzati da una densità di collegamenti relativamente alta; il coefficiente di clustering delle reti reali, quindi, dende ad essere maggiore rispetto a quello di grafi in cui i collegamenti sono generati casualmente.^[1][2]

Può essere misurato in due modi diversi: globale e locale. Quello globale descrive in generale l'intensità del fenomeno di clustering nella rete, mentre quella locale riguarda il livello di radicamento dei singoli nodi.

Coefficiente di clustering locale

 

Esempio di coefficiente di clustering locale in un grafo non orientato:
1. Nel primo caso, i collegamenti fra i vicini del nodo blu sono tre su tre, quindi il coefficiente risulta essere 1.
2. Nel secondo caso, i collegamenti sono uno su tre, quindi il coefficiente è 1/3.
3. Nel terzo caso i collegamenti sono inesistenti, quindi il coefficiente è nullo.

Il coefficiente di clustering locale di un nodo in un grafo indica quanto i suoi vicini siano distanti dall'essere una cricca. Duncan J. Watts and Steven Strogatz introdussero questa misura nel 1998 per determinare se un grafo sia o meno una rete rientrante nella teoria del mondo piccolo.

Un grafo ${\displaystyle G=(V,E)}$  consiste formalmente di un insieme ${\displaystyle V}$  di vertici e un insieme ${\displaystyle E}$  di collegamenti. Un collegamento ${\displaystyle e_{ij}}$  connette un vertice ${\displaystyle v_{i}}$  con un vertice ${\displaystyle v_{j}}$ .

L'insieme ${\displaystyle N_{i}}$  dei vicini di un vertice ${\displaystyle v_{i}}$  è definito come l'insieme dei nodi direttamente connessi ad esso:

${\displaystyle N_{i}=\{v_{j}:\left\langle e_{ji},e_{ij}\right\rangle \in E^{2}\}.}$ 

Definiamo ${\displaystyle k_{i}}$  come la cardinalità di ${\displaystyle |N_{i}|}$ , ovvero il numero di vicini di un vertice ${\displaystyle v_{i}}$ .

Il coefficiente di clustering locale ${\displaystyle C_{i}}$  di un vertice ${\displaystyle v_{i}}$  è dato dal numero di collegamenti fra i membri di ${\displaystyle N_{i}}$  fratto il numero di collegamenti potenziali fra loro.

In un grafo orientato, ${\displaystyle e_{ij}}$  è distinto da ${\displaystyle e_{ji}}$ , dunque per ogni ${\displaystyle N_{i}}$  ci sono ${\displaystyle k_{i}(k_{i}-1)}$  collegamenti possibili fra i suoi membri. Di conseguenza, il coefficiente di clustering locale per grafi orientati è dato da:^[2]

${\displaystyle C_{i}={\frac {|\{e_{jk}:v_{j},v_{k}\in N_{i},e_{jk}\in E\}|}{k_{i}(k_{i}-1)}}.}$ 

La proprietà caratteristica di un grafo non orientato è invece che ${\displaystyle e_{ij}}$  e ${\displaystyle e_{ji}}$  sono considerati identici, dunque per ogni ${\displaystyle N_{i}}$  ci sono ${\displaystyle {\frac {k_{i}(k_{i}-1)}{2}}}$  collegamenti possibili fra i suoi membri. Di conseguenza, il coefficiente di clustering locale per grafi non orientati è dato da:

${\displaystyle C_{i}={\frac {2\cdot |\{e_{jk}:v_{j},v_{k}\in N_{i},e_{jk}\in E\}|}{k_{i}(k_{i}-1)}}.}$ 

Coefficiente di clustering globale

Il concetto di coefficiente di clustering globale è basato su triple di nodi. Una tripla consiste di tre nodi connessi da due (tripla aperta) o tre (tripla chiusa) collegamenti. Ogni tripla è incentrata su un nodo. Un triangolo consiste di tre triple chiuse incentrate sui tre stessi nodi che le compongono.

Il coefficiente di clustering globale è, dunque, il numero di triple chiuse (o 3 volte il numero di triangoli) fratto il numero totale di triple (somma di quelle aperte e chiuse). Il primo tentativo di misurarlo fu effettuato da Robert D. Luce e Albert D. Perry (1949).^[3] Questo metodo può essere applicato sia alle reti orientate che non orientate (often called transitivity).^[4]

Watts e Strogatz, invece, definirono il coefficiente di clustering come la media dei coefficienti locali:^[5]

Supponiamo che un nodo ${\displaystyle v}$  abbia ${\displaystyle k_{v}}$  vicini; allora possono esistere massimo ${\displaystyle k_{v}(k_{v}-1)/2}$  collegamenti fra loro (ciò accade quando tutti i vicini di ${\displaystyle v}$  sono connessi fra loro). Denotando con ${\displaystyle C_{v}}$  la frazione di tali collegamenti che effettivamente esiste, si definisce ${\displaystyle C}$  come la media dei ${\displaystyle C_{v}}$  fratto il numero di nodi.

Quest'ultima definizione è equivalente alla prima se si utilizza la media ponderata, pesando ogni ${\displaystyle C_{v}}$  con il numero di triple in cui il nodo è centrale:

${\displaystyle C={\frac {3\cdot n_{\Delta }(G)}{n_{\land }(G)}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(C_{i}\cdot w_{i})}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$ .

Dove:

• ${\displaystyle n_{\Delta }(G)}$  è il numero di triangoli del grafo;
• ${\displaystyle n_{\land }(G)}$  è il numero complessivo di triple del grafo;
• ${\displaystyle w_{i}}$  è il peso del vertice ${\displaystyle v_{i}}$  (numero di triple in cui il nodo è centrale);

Notare che ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\equiv n_{\land }(G)}$ .

Esempio

 

Grafo non orientato a sei nodi. I vertici cerchiati in rosso sono centri di triple chiuse.

Nell'esempio sulla destra c'è un solo triangolo, formato dai vertici 1, 2 e 5. Le caratteristiche del grafo sono le seguenti:

Vertice	Collegamenti fra vicini	Peso	Triple in cui il nodo è centrale
1	1	1	⟨2,1,5⟩
2	1/3	3	⟨1,2,3⟩, ⟨1,2,5⟩, ⟨3,2,5⟩
3	0	1	⟨2,3,4⟩
4	0	3	⟨3,4,5⟩, ⟨3,4,5⟩, ⟨5,4,6⟩
5	1/3	3	⟨1,5,2⟩, ⟨1,5,4⟩, ⟨2,5,4⟩
6	0	0	—

${\displaystyle {\frac {3\cdot n_{\Delta }(G)}{n_{\land }(G)}}={\frac {3}{11}};}$ 

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}(C_{i}\cdot w_{i})}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {1\cdot 1+{\frac {1}{3}}\cdot 3+{\frac {1}{3}}\cdot 3}{1\cdot 2+3\cdot 3}}={\frac {3}{11}};}$ 

${\displaystyle \Rightarrow C={\frac {3}{11}}.}$ 

Note

1. ^ P. W. Holland, S. Leinhardt, Transitivity in structural models of small groups, in Comparative Group Studies, vol. 2, 1971, pp. 107–124.
2. D. J. Watts, S. H. Strogatz, Collective dynamics of 'small-world' networks, in Nature, vol. 393, n. 6684, June 1998, pp. 440–442, DOI:10.1038/30918.
3. ^ R. D. Luce, A. D. Perry, A method of matrix analysis of group structure, in Psychometrika, vol. 14, n. 1, 1949, pp. 95–116, DOI:10.1007/BF02289146.
4. ^ Stanley Wasserman, Kathrine Faust, 1994. Social Network Analysis: Methods and Applications., p. 243. Cambridge: Cambridge University Press.
5. ^ D. J. Watts, S. H. Strogatz, Figure 2 : Collective dynamics of 'small-world' networks, in Nature, vol. 393, n. 6684, June 1998, pp. 440–442, DOI:10.1038/30918.