Differenza finita

In matematica, una differenza finita è un'espressione matematica nella forma di una differenza tra i valori assunti da una funzione in due specifici punti. Le differenze finite sono centrali nell'analisi numerica per l'approssimazione delle derivate e quindi nella risoluzione numerica delle equazioni differenziali. Tale differenza viene in genere indicata con la lettera greca "Δ" seguita dalla quantità che subisce tale variazione (ad esempio Δx).^[1]

Definizione

In generale una differenza con centro c e passo h è definita come: ${\displaystyle \Delta _{c,h}f(x)=f(x+c+{\frac {h}{2}})-f(x+c-{\frac {h}{2}})\quad \forall c,h\in \mathbb {R} }$ , Si studiano principalmente tre tipi di differenze finite:

• in avanti: ${\displaystyle \Delta _{h}f(x)=\Delta _{{\frac {h}{2}},h}f(x)=f(x+h)-f(x)}$ 
• all'indietro: ${\displaystyle \Delta _{-h}f(x)=\Delta _{-{\frac {h}{2}},h}f(x)=f(x)-f(x-h)}$ 
• centrata: ${\displaystyle \Delta _{0}f(x)=\Delta _{0,h}f(x)=f(x+{\frac {h}{2}})-f(x-{\frac {h}{2}})}$ 

Relazione con le derivate

  Lo stesso argomento in dettaglio: Approssimazione numerica di una derivata.

La derivata di una funzione, se esiste, è definita come il limite del rapporto incrementale:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h,c\to 0}{\frac {\Delta _{c,h}f(x)}{h}}}$ 

cioè è possibile utilizzare differenze finite prese non solo in avanti, all'indietro o centrate.

Il tipo di differenza finita utilizzato diventa importante qualora si operi l'approssimazione, il cui ordine è massimo per la centrata e cala col valore assoluto del centro.

Metodo alle differenze finite

  Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo alle differenze finite.

Le differenze finite possono essere utilizzate per discretizzare una equazione differenziale ordinaria. Un esempio classico è il metodo di Eulero, che sfrutta alternativamente tutti e tre i tipi di differenze finite qua definite.

Operatore

Un operatore astratto agente su uno spazio funzionale che, data una funzione, ne restituisce la differenza finita con centro c e passo h si dice un operatore alle differenze dove Δ_{c, h} Quello in avanti per esempio può essere espresso come

${\displaystyle \Delta _{h}=T_{h}-I}$ 

dove ${\displaystyle T_{h}}$  è l'operatore di shift ${\displaystyle T_{h}(f)=f(x+h)}$  e ${\displaystyle I}$  l'identità. Similmente si possono descrivere gli altri due tipi.

Qualsiasi operatore alle differenze di quelli visti è lineare e soddisfa la regola di Leibniz.

La relazione di Taylor può essere espressa allora in termini simbolici come

${\displaystyle \Delta _{h}=\sum _{i}{\frac {h^{i}D^{i}}{i!}}\sim hD+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+...}$ 

dove ${\displaystyle D}$  è l'operatore differenziale che trasforma una funzione nella sua derivata.

Differenze finite di ordine superiore

Si possono definire approssimazioni per le derivate di ordine successivo in modo iterativo. Utilizzando ad esempio le differenze centrate per approssimare ${\displaystyle f'(x+h/2)-f'(x-h/2)}$  otteniamo la differenza finita centrata del second'ordine

${\displaystyle \Delta _{0}^{2}f(x)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}$ 

Più in generale, le differenze finite dell' ${\displaystyle n}$ -esimo ordine sono definite rispettivamente come

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h)}$ 

${\displaystyle \Delta _{-h}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih)}$ 

${\displaystyle \Delta _{0}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right)}$ 

Se necessario, ovviamente, si possono mischiare i tre tipi centrando l'approssimazione successivamente in punti diversi.

Per ${\displaystyle k}$  e ${\displaystyle n}$  positivi vale infine che

${\displaystyle \Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}...\sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}(f,x+i_{1}h+i_{2}h+...+i_{n}h).}$ 

Note

1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "change of a quantity"

Voci correlate

• Equazione alle differenze
• Metodo delle differenze finite
• Derivata
• Coefficienti differenze finite
• Approssimazione numerica di una derivata

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