e (costante matematica)

In matematica il simbolo ${\displaystyle e}$ denota una costante molto importante per via delle sue applicazioni in diversi campi.

e (Numero di Eulero)
Simbolo	e
Valore	2,71828 18284 59045 23536 ... (sequenza A001113 dell'OEIS)
Origine del nome	Eulero
Frazione continua	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (sequenza A003417 dell'OEIS)
Insieme	numeri trascendenti
Costanti correlate	Costante di Gelfond, Costante Omega
La costante e compare nella formula di Eulero, una delle identità matematiche più importanti.

Poiché ${\displaystyle e}$ corrisponde ad un numero irrazionale (in particolare ad uno trascendente), non è esprimibile come frazione o come numero decimale periodico. La sua espressione con 55 cifre decimali è: 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749

In ambito internazionale il numero ${\displaystyle e}$ viene chiamato numero di Eulero, in Italia talvolta anche numero di Nepero.

Il numero di Eulero è collegato con la funzione esponenziale, che associa ad un numero reale ${\displaystyle x}$ il numero dato dalla potenza ${\displaystyle e^{x}}$, e con la funzione logaritmo naturale (la funzione inversa dell'esponenziale). In maniera formale è possibile definire ${\displaystyle e}$ come il valore che la funzione esponenziale ${\displaystyle e^{x}}$ assume in ${\displaystyle x=1}$.

Definizioni

Il numero ${\displaystyle e}$  può essere definito in uno dei seguenti modi:

• come il valore del limite

${\displaystyle e:=\lim _{n\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}}$ ;

• come la somma della serie

${\displaystyle e:=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$ 

dove ${\displaystyle n!}$  è il fattoriale del numero naturale ${\displaystyle n}$ . Per ottenere, per lo sviluppo in serie della funzione esponenziale, la scrittura compatta ${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$  (si pone per definizione ${\displaystyle 0!=1}$ ).

Una dimostrazione dell'equivalenza di queste definizioni è data qui sotto. Le definizioni sono usate in modo analogo nella definizione della funzione esponenziale.

Un modo alternativo (non standard) di definire ${\displaystyle e}$  coinvolge le equazioni differenziali: il numero di Eulero si può definire come il valore in ${\displaystyle x=1}$  della funzione ${\displaystyle f(x)}$  soluzione unica del problema di Cauchy dato dall'equazione differenziale ${\displaystyle f^{\prime }(x)=f(x)}$  con condizioni iniziali ${\displaystyle f(0)=1}$ .

Proprietà

Numero irrazionale e trascendente

  Lo stesso argomento in dettaglio: Dimostrazione della irrazionalità di e e Dimostrazione della trascendenza di e.

Il numero ${\displaystyle e}$  è irrazionale, più precisamente un numero trascendente, ossia non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione. Questo è stato il primo numero che si è dimostrato essere trascendente senza essere stato costruito per essere collocato nell'insieme dei numeri reali non algebrici, come era accaduto in precedenza per la costante di Liouville. Una dimostrazione della irrazionalità di e è stata data da Charles Hermite nel 1873. Si presume che esso sia un numero normale.

Formula di Eulero

La costante ${\displaystyle e}$  compare nella formula di Eulero, una delle più importanti identità della matematica:

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\,\mathrm {sen} (x),}$ 

dove ${\displaystyle i}$  indica l'unità immaginaria. Il caso particolare con ${\displaystyle x=\pi }$  è noto come identità di Eulero:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0;}$ 

questa uguaglianza è stata chiamata da Richard Feynman "gioiello di Eulero".

Frazione continua

Lo sviluppo di ${\displaystyle e}$  come frazione continua infinita è espresso dalla seguente interessante configurazione:

${\displaystyle e-1=[1;0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,\ldots ]}$ 

Proprietà analitiche

Il numero ${\displaystyle e}$  è il punto centrale della commutazione dell'elevamento a potenza. Siano date tutte le coppie ${\displaystyle (x,y)}$  per le quali ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ . Oltre al caso banale ${\displaystyle x=y}$ , l'unica coppia intera (e razionale) per cui vale la proprietà è formata dai numeri 2 e 4, ma vale anche per infinite coppie irrazionali distribuite lungo una curva nel primo quadrante, asintotica alle rette ${\displaystyle x=1}$  e ${\displaystyle y=1}$ . Tale curva e la retta ${\displaystyle y=x}$  si intersecano nel punto ${\displaystyle (e,e)}$ . Sempre in merito a funzioni esponenziali, la radice ${\displaystyle x}$ -esima di ${\displaystyle x}$ , ovvero ${\displaystyle x^{\frac {1}{x}}}$ , ha massimo per ${\displaystyle x=e}$  e l'esponenziale ${\displaystyle x}$ -esimo di ${\displaystyle x}$ , ovvero ${\displaystyle x^{x}}$ , ha minimo per ${\displaystyle x={\frac {1}{e}}}$ .

Storia

 

Nel corso degli anni il numero ${\displaystyle e}$  è stato approssimato con una precisione di milioni di cifre decimali.

Il primo riferimento ad ${\displaystyle e}$  in letteratura risale al 1618 ed è contenuto nella tavola di un'appendice di un lavoro sui logaritmi di John Napier. Nella tavola non appare la costante, bensì un elenco di logaritmi naturali calcolabili a partire dalla costante. Sembra che la tavola sia stata scritta da William Oughtred. La prima espressione di ${\displaystyle e}$  come una costante è stata trovata da Jakob Bernoulli:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

Da questa espressione è difficile ricavare un buon valore numerico per la costante.

La sua prima citazione, rappresentata con la lettera ${\displaystyle b}$  compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera ${\displaystyle e}$  per la costante nel 1727 e il primo uso di ${\displaystyle e}$  compare nella Mechanica di Eulero (1736). Negli anni seguenti alcuni ricercatori hanno usato la lettera ${\displaystyle c}$ , poi l'uso di ${\displaystyle e}$  si è fatto più comune. Oggi è usato come simbolo definitivo.

Si sostiene che ${\displaystyle e}$  fosse usata:

• dai greci, per la costruzione del Partenone,
• dagli egizi, per la costruzione della grande piramide,

In realtà in queste costruzioni si trovano due lunghezze tipiche che hanno come rapporto il suo valore. I greci usavano per questa costante l'appellativo Αρμονικός σταθερά o costante armonica, la denotavano con la lettera ε e usavano per essa il valore 2,72.

Non sono noti i motivi che condussero a scegliere la lettera ${\displaystyle e}$ , si può supporre che ${\displaystyle e}$  fu scelto perché iniziale della parola esponenziale.^[1] Un altro motivo sta nel fatto che ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ , e ${\displaystyle d}$  venivano frequentemente usate per altri oggetti matematici ed ${\displaystyle e}$  era la prima lettera dell'alfabeto latino non utilizzata. È improbabile che Eulero abbia scelto la lettera in quanto iniziale del suo nome, poiché il numero non era una sua scoperta, era già noto ai matematici dell'epoca.

Dimostrazione dell'equivalenza delle due formulazioni

La seguente dimostrazione prova l'equivalenza dello sviluppo in serie infinita presentato in precedenza e l'espressione del limite studiata da Bernoulli.

Definiamo

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}~,}$ 

${\displaystyle t_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}~.}$ 

Dal teorema binomiale,

${\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}=1+1+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k!\,n^{k}}}}$ 

${\displaystyle =1+1+{\frac {1}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {1}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots +{\frac {1}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}}$ 

tale che

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e~.}$ 

Qui deve essere usato il limite superiore o limsup, poiché non è ancora noto che ${\displaystyle t_{n}}$  converge effettivamente. Ora, per l'altra direzione, si nota che dall'espressione sopra di ${\displaystyle t_{n}}$ , se ${\displaystyle 2\leq m\leq n}$ , abbiamo

${\displaystyle 1+1+{\frac {1}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {1}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}}$ 

Fissato ${\displaystyle m}$  si fa tendere ${\displaystyle n}$  all'infinito. Otteniamo

${\displaystyle s_{m}=1+1+{\frac {1}{2!}}+\cdots +{\frac {1}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$ 

(di nuovo, dobbiamo usare il limite inferiore o liminf poiché non è ancora garantito che ${\displaystyle t_{n}}$  converge). Ora, considerando la disuguaglianza precedente, ${\displaystyle m}$  si avvicina all'infinito, e la colloca assieme all'altra disuguaglianza. Questa diventa

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }t_{n}}$ 

Questo completa la dimostrazione.

Rappresentazione stocastica

Oltre alle rappresentazioni analitiche esatte per rappresentare ${\displaystyle e}$ , esistono metodi stocastici per stimarlo. Una di queste parte da una sequenza infinita di variabili casuali indipendenti ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,}$  distribuite uniformemente nell'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ . Definito ${\displaystyle V}$  come il numero ${\displaystyle n}$  minimo tale che la somma dei primi ${\displaystyle n}$  termini sia maggiore di ${\displaystyle 1}$ 

${\displaystyle V=\min \left\{n|X_{1}+X_{2}+...+X_{n}>1\right\}}$ 

allora il valore atteso di ${\displaystyle V}$  è ${\displaystyle e}$ .

Note

1. ^ Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, ISBN 88-04-33431-2.

Bibliografia

• Eli Maor: e: The Story of a Number, ISBN 0-691-05854-7

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Collegamenti esterni

• (EN) The number e (history)
• Il primo milione e i primi due milioni di cifre decimali del numero e

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