Differenza finita

In matematica, una differenza finita è un'espressione matematica nella forma di una differenza tra i valori assunti da una funzione in due specifici punti. Le differenze finite sono centrali nell'analisi numerica per l'approssimazione delle derivate e quindi nella risoluzione numerica delle equazioni differenziali. Tale differenza viene in genere indicata con la lettera greca ${\displaystyle \Delta }$ seguita dalla quantità che subisce tale variazione (ad esempio ${\displaystyle \Delta x}$).^[1]

Una differenza con centro ${\displaystyle c}$ e passo ${\displaystyle h}$ è definita come:

${\displaystyle \Delta _{c,h}f(x)=f(x+c+{\frac {h}{2}})-f(x+c-{\frac {h}{2}})\qquad \forall c,h\in \mathbb {R} }$

Si studiano principalmente tre tipi di differenze finite. La differenza finita in avanti (forward difference):

${\displaystyle \Delta _{h}f(x)=\Delta _{{\frac {h}{2}},h}f(x)=f(x+h)-f(x)}$

la differenza finita all'indietro (backward difference):

${\displaystyle \Delta _{-h}f(x)=\Delta _{-{\frac {h}{2}},h}f(x)=f(x)-f(x-h)}$

e la differenza finita centrata (central difference):

${\displaystyle \Delta _{0}f(x)=\Delta _{0,h}f(x)=f(x+{\frac {h}{2}})-f(x-{\frac {h}{2}})}$

Relazione con le derivate

  Lo stesso argomento in dettaglio: Approssimazione numerica di una derivata.

La derivata di una funzione ${\displaystyle f}$  in ${\displaystyle x}$  è definita come il limite del rapporto incrementale:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$ 

Se ${\displaystyle h}$ , invece che annullarsi, assume un valore fissato, allora il termine a destra si può scrivere:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}}$ 

in modo che la differenza finita in avanti divisa per ${\displaystyle h}$  approssima il valore della derivata per ${\displaystyle h}$  piccolo.

L'errore relativo a tale approssimazione può essere derivato tramite il teorema di Taylor. Assumendo ${\displaystyle f}$  una funzione differenziabile con continuità l'errore è:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0)}$ 

e la stessa formula vale per la differenza finita all'indietro:

${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)}$ 

Metodo alle differenze finite

  Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo alle differenze finite.

Le differenze finite possono essere utilizzate per discretizzare una equazione differenziale ordinaria. Un esempio classico è il metodo di Eulero, che sfrutta alternativamente tutti e tre i tipi di differenze finite qua definite.

Operatore

Un operatore astratto agente su uno spazio funzionale che, data una funzione, ne restituisce la differenza finita con centro ${\displaystyle c}$  e passo ${\displaystyle h}$  si dice un operatore alle differenze. Quello in avanti per esempio può essere espresso come:

${\displaystyle \Delta _{h}=T_{h}-I}$ 

dove ${\displaystyle T_{h}}$  è l'operatore di shift ${\displaystyle T_{h}(f)=f(x+h)}$  e ${\displaystyle I}$  l'identità. Similmente si possono descrivere gli altri due tipi.

Qualsiasi operatore alle differenze di quelli visti è lineare e soddisfa la regola di Leibniz.

La relazione di Taylor può essere espressa allora in termini simbolici come:

${\displaystyle \Delta _{h}=\sum _{i}{\frac {h^{i}D^{i}}{i!}}\sim hD+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\dots }$ 

dove ${\displaystyle D}$  è l'operatore differenziale che trasforma una funzione nella sua derivata.

Differenze finite di ordine superiore

Si possono definire approssimazioni per le derivate di ordine successivo in modo iterativo. Utilizzando ad esempio le differenze centrate per approssimare ${\displaystyle f'(x+h/2)-f'(x-h/2)}$  otteniamo la differenza finita centrata del second'ordine:

${\displaystyle \Delta _{0}^{2}f(x)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}$ 

Più in generale, le differenze finite dell' ${\displaystyle n}$ -esimo ordine sono definite rispettivamente come:

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h)}$ 

${\displaystyle \Delta _{-h}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih)}$ 

${\displaystyle \Delta _{0}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right)}$ 

Se necessario, ovviamente, si possono mischiare i tre tipi centrando l'approssimazione successivamente in punti diversi.

Per ${\displaystyle k}$  e ${\displaystyle n}$  positivi vale infine che:

${\displaystyle \Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\dots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\dots +i_{n}h)}$ 

Note

1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "change of a quantity"

Bibliografia

• (EN) Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1
• (EN) Richtmeyer, D. and Morton, K.W., (1967). Difference Methods for Initial Value Problems, 2nd ed., Wiley, New York.
• (EN) H. Levy, Finite Difference Equations, Dover, 1992, ISBN 0-486-67260-3.
• (EN) Ames, W. F., (1977). Numerical Methods for Partial Differential Equations, Section 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1.
• (EN) Hildebrand, F. B., (1968). Finite-Difference Equations and Simulations, Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

Voci correlate

• Approssimazione numerica di una derivata
• Coefficienti differenze finite
• Derivata
• Equazione alle differenze
• Metodo delle differenze finite

Collegamenti esterni

• (EN) A.F. Leont'ev, Finite-difference calculus, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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