Separazione delle variabili

In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.

Equazioni differenziali ordinarie

Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))}$ 

che ponendo ${\displaystyle y=f(x)}$  assume la forma:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).}$ 

Se ${\displaystyle h(y)\neq 0}$  si possono riordinare i termini:

${\displaystyle {dy \over h(y)}={g(x)dx}}$ 

in modo che le variabili ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  siano separate ognuna in uno dei due membri.

Esempio

La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$ 

dove ${\displaystyle P}$  è la popolazione in funzione del tempo ${\displaystyle t}$ , ${\displaystyle k}$  è il suo tasso di crescita e ${\displaystyle K}$  è la capacità portante dell'ambiente.

Si può utilizzare la eparazione delle variabili:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$ 

${\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt}$ 

Per valutare l'integrale a destra si semplifica la frazione:

${\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}}$ 

e quindi la si decompone in frazioni parziali:

${\displaystyle {\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}}$ 

Si ha quindi:

${\displaystyle \int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt}$ 

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C}$ 

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C}$ 

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C}$ 

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}}$ 

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-kt}}$ 

${\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}}$ 

Sia ${\displaystyle A=\pm e^{-C}}$ . Allora:

${\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}}$ 

${\displaystyle {\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}}$ 

${\displaystyle {\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}}$ 

${\displaystyle {\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}}$ 

${\displaystyle P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$ 

Quindi la soluzione all'equazione logistica è:

${\displaystyle P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$ 

Per trovare ${\displaystyle A}$ , sia ${\displaystyle t=0}$  e ${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$ . Si ha:

${\displaystyle P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}$ 

Notando che ${\displaystyle e^{0}=1}$ , risolvendo per ${\displaystyle A}$  si ha:

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}}$ 

Bibliografia

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
• Tyn Myint-U, Lokenath Debnath, Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Boston, MA, 2007, ISBN 978-0-8176-4393-5. URL consultato il 29 marzo 2011.
• Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, RI, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.

Collegamenti esterni

• (EN) A.P. Soldatov, Fourier method, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Eric W. Weisstein, Separation of variables, in MathWorld, Wolfram Research.
• Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations
• Examples of separating variables to solve PDEs
• "A Short Justification of Separation of Variables"

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