Teorema di Bolzano-Weierstrass
Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che in uno spazio euclideo finito dimensionale ogni successione reale limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente.
Esso fu dimostrato nel 1817 dal matematico boemo Bernard Bolzano, ma divenne noto solo mezzo secolo più tardi quando Karl Weierstrass, ignaro del lavoro di Bolzano, fornì una nuova dimostrazione. Per tale motivo esso prende il nome di entrambi gli studiosi.
Il teorema
Sia un insieme limitato e infinito. Allora possiede almeno un punto di accumulazione.
Dimostrazione per n = 1
La dimostrazione nel caso n = 1 fa uso dell'assioma di Dedekind (o assioma di completezza) e di un apposito lemma.
Lemma!
Ogni successione a valori in R ammette una sottosuccessione monotona.
Dimostrazione
Chiamiamo "picco per la successione" ogni numero naturale n tale che, per ogni m> n, risulti ovvero tale che il termine sia maggiore o uguale di ogni termine che lo "segue" nella successione.
Consideriamo il caso in cui la successione abbia infiniti picchi n1 > n2 > n3 > … > nj > …. Ne consegue che otteniamo una sottosuccessione monotona decrescente costituita dagli infiniti picchi della successione di partenza e la tesi (del lemma) è raggiunta.
Risultato simile si ritrova nello studio del limite superiore di una successione. In tale contesto, infatti, si considera la sottosuccessione data da .
Supponiamo adesso che ci sia solo un numero finito di picchi, chiamiamo con N l'ultimo picco e n1 = N + 1. Perciò n1 non è un picco, poiché n1 > N; da ciò segue che esiste un n2 > n1 tale che Allo stesso modo, n2 > N non è un picco, per cui esiste n3 > n2 con . Iterando il procedimento si ottiene la sottosuccessione monotona crescente .
Dimostrazione vera e propria
Supponiamo adesso di avere una successione limitata in R; il lemma precedente implica l'esistenza di una sottosuccessione monotona necessariamente limitata. Dal Teorema della convergenza monotona per successioni reali segue che questa sottosuccessione necessariamente converge. Infatti, essendo limitata, avrà l'estremo superiore (inferiore) per l'assioma di Dedekind, che sarà anche il limite della successione. Ciò è provato dal fatto che, chiamato l'estremo superiore, . Essendo monotona, cioè . Si conclude così la dimostrazione del teorema per il caso n = 1.
Dimostrazione per n qualsiasi
Nella sua formulazione più generale, il teorema può essere dimostrato tramite il caso n = 1 : data una successione limitata in Rn, la successione delle prime coordinate è una successione reale limitata e perciò essa ammette sottosuccessione convergente. Da questa possiamo estrarre una sottosottosuccessione per la quale la seconda coordinata converga. Iterando questo procedimento per tutte le n coordinate si ottiene una n volte sottosuccessione della successione di partenza — che è a tutti gli effetti una sottosuccessione della successione di partenza — per la quale ogni coordinata è una successione convergente. Si è così ottenuta una sottosuccessione convergente della successione in Rn.
Altra formulazione del teorema
Una formulazione quasi equivalente è la seguente.
Sia un insieme infinito, e sia un insieme compatto. Allora ammette almeno un punto di accumulazione in , ossia .
Dimostrazione
Sia per assurdo . Allora per ogni q in K esiste una palla centrata in q che, intersecata con E, contiene al più il punto q stesso (altrimenti q sarebbe di accumulazione per E). Se denotiamo con V(q) la palla aperta centrata in q di opportuno raggio r(q), la famiglia è una copertura aperta di K (dato che il ragionamento è valido per ogni q in K); poiché K è compatto (ex hyp.), da tale copertura aperta è possibile estrarre una sottocopertura aperta e finita di K, ossia una sottocopertura tale che
In particolare, contiene E. Tuttavia, ciò è assurdo poiché E contiene infiniti elementi, mentre ognuna di queste palle V(qi) contiene al più un elemento di E e quindi la loro unione ne contiene al più N.
Quindi .
Note