Distribuzione di Pascal

La variabile casuale binomiale negativa è una v.c. discreta, usata spesso per descrivere eventi rari in cui la probabilità dell'evento non è uguale per tutti gli elementi (contrariamente alla v.c. poissoniana), p.es. nel caso del numero di incidenti stradali mortali in determinato intervallo di tempo. È anche il risultato finale di un processo markoviano continuo nel tempo (Processo di Yule).

Definizione e caratteristiche

La funzione di probabilità è data da

${\displaystyle P_{r}(k)={r+k-1 \choose k}\ p^{r}\ (1-p)^{k}}$ 

ove k e r sono interi non negativi e p una probabilità (0<p<1)

La funzione generatrice dei momenti è:

${\displaystyle g(t)=({\frac {p}{1-q\ e^{t}}})^{r}}$  , ove q=1-p

Si hanno:

valore atteso

μ = rq/p

varianza

σ² = rq/p² = μ/p

simmetria

β₁ = (1+q)² / (rq)

curtosi

β₂ = 3 + (1+4q+q²) / (rq)

A confronto con le due v.c. più simili (anche come utilizzo) si può osservare che:

• La v.c. Binomiale Negativa ha la media minore della varianza
• La v.c. poissoniana ha la media uguale alla varianza
• La v.c. binomiale ha la media superiore alla varianza

Teoremi

Teoremi che coinvolgono altre v.c.

Somma di v.c. geometriche

Se X₁, X₂, ... , X_r sono variabili casuali uguali e indipendenti distribuite come una variabile casuale geometrica, allora la loro somma

${\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+...+X_{r}}$ 

è una v.c.Binomiale Negativa.

v.c. di Poisson e v.c. Gamma

Se X è una variabile casuale di Poisson generalizzata con il parametro λ distribuito come una variabile casuale Gamma, allora si tratta di una v.c. Binomiale Negativa.

${\displaystyle f(k)\!\!\!\!}$	${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {Poisson} (k\,|\,\lambda )\times \mathrm {Gamma} (\lambda \,|\,r,(1-p)/p)\;\mathrm {d} \lambda }$
	${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\exp(-\lambda )\times {\frac {\lambda ^{r-1}\exp(-\lambda (1-p)/p)}{\Gamma (r)\;((1-p)/p)^{r}}}\;\mathrm {d} \lambda }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{k!\;\Gamma (r)}}\;p^{r}\;{\frac {1}{(1-p)^{r}}}\;\int _{0}^{\infty }\lambda ^{(r+k)-1}\,\exp(-\lambda /(1-p))\;\mathrm {d} \lambda }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{k!\;\Gamma (r)}}\;p^{r}\;{\frac {1}{(1-p)^{r}}}\;(1-p)^{r+k}\;\Gamma (r+k)}$
	${\displaystyle ={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}\;p^{r}\,(1-p)^{k}}$

La v.c. Beta come priori coniugati della v.c. Binomiale Negativa

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la v.c. binomiale negativa e la variabile casuale Beta.

Se X è distribuita come una v.c. binomiale negativa con parametri m e θ

${\displaystyle f(x|\theta )=BinNeg(x|m;\theta )}$ 

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

${\displaystyle g(\theta )=Beta(\theta |a;b)}$ 

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+m e b+x

${\displaystyle g(\theta |x)=Beta(\theta |a+m;b+x)}$ 

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibilii valori di θ equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri m+1 e x+1

che ha come valore modale t (e dunque come valore più probabile)

t=m/(m+x)

La v.c. binomiale negativa come caso particolare della v.c. di Panjer

Applicando alla variabile casuale di Panjer i parametri ${\displaystyle a=1-p,~b=(r-1)\cdot (1-p),~p_{0}=p^{r}}$  si ottiene la v.c binomiale negativa.

La v.c. binomiale negativa come una composta di Poisson

Se ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$  sono distribuite come la variabile casuale logaritmica allora la distribuzione composta di Poisson è una variabile casuale binomiale negativa.

Processo di Yule

Un processo di Yule (un processo Markoviano di pure nascite) genera una v.c. Binomiale Negativa.

Voci correlate

• variabile casuale, v.c. discreta
• Processo di Yule (un processo markoviano continuo nel tempo)
• v.c. Geometrica, v.c. poissoniana, v.c. Gamma