Pi greco

La costante matematica π (si scrive "pi" dove le lettere greche non sono disponibili) è utilizzata moltissimo in matematica e fisica. Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di analisi matematica definiscono π usando le funzioni trigonometriche, per esempio come il più piccolo numero (diverso da 0) per cui sin(x)=0 oppure il più piccolo numero che diviso per 2 annulla cos(x). Tutte le definizioni sono equivalenti.

π è conosciuto anche come la costante di Archimede (da non confondere con i numeri di Archimede), la costante di Ludolph o numero di Ludolph. Contrariamente ad un'idea comune, π non è una costante fisica o naturale, quanto piuttosto una costante matematica definita in modo astratto, indipendente dalle misure di carattere fisico.

Le prime 64 cifre decimali di π sono (sequenza A000796 del OEIS) :

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592

Proprietà

π è un numero irrazionale, non può cioè essere scritto come quoziente di due interi. Questo è stato provato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o razionali di cui π è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro radici.

Questo risultato stabilisce a fortiori l'impossibilità della quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.

Formule che riguardano π

Geometria:

La circonferenza di un cerchio o di una sfera di raggio r: C = 2 π r

L'area di un cerchio di raggio r: A = π r²

L'area di un'ellisse di semiassi a e b: A = π ab

Il volume di una sfera di raggio r: V = (4/3) π r³

La superficie di una sfera di raggio r: A = 4 π r²

Il volume di un cilindro di altezza h e raggio r: V = (π r² ) h

L'area della superficie di un cilindro di altezza h e raggio r: A = ([π r²] 2 ) + ([2 π r] h )

Angoli: 180 gradi equivalgono a π radianti

Analisi

Formula di Leibniz:

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Prodotto di Wallis:

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

Il problema di Basilea:

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

risolto da Eulero. Vedi anche la funzione zeta di Riemann,

\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

L'integrale di Gauss:

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}

L'integrale di Eulero

La funzione gamma calcolata in $1/2$ :

\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}

Approssimazione di Stirling:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

$\sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}$

L'identità di Eulero:

e^{\pi i}+1=0\;

definita da Richard Feynman "la più notevole formula della matematica".

π ha delle rappresentazioni come frazioni continue:

{\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}

Data una semicirconferenza di raggio r centrata nell'origine del piano cartesiano, πr è definibile come ascissa curvilinea su tutto il dominio della funzione che descrive la semicirconferenza:

f\left(x\right):={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}

\pi ={\frac {\int _{-r}^{r}{\sqrt {\left({\frac {d}{dx}}f\left(x\right)\right)^{2}+1}}dx}{r}}

={\frac {\int _{-r}^{r}{\sqrt {{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}+1}}dx}{r}}

={\frac {\arcsin \left(r\right)-\arcsin \left(-r\right)}{r}}

Teoria dei numeri

La probabilità che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di 6/π²

Il numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due quadrati perfetti è π/4.

Il numero di primi presenti nell'intervallo compreso tra 0 e n è denotato con π(n)

Sistemi dinamici / Teoria ergodica

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}

per quasi tutti i reali x₀ in [0, 1] dove gli x_i sono iterazioni della Mappa logistica per r = 4.

Probabilità e statistica

f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}

La funzione di densità di probabilità nella distribuzione normale.

\pi ={\frac {2ln}{th}}

Una formula per π proveniente dalla risoluzione del problema dell'Ago di Buffon

Aerodinamica

La massima pendenza (teorica) del tratto lineare della curva

C_{P}/\alpha

per qualsiasi profilo sottile è

2\pi

Fisica

\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}

Principio di indeterminazione di Heisenberg.

R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}

Equazione di campo di Einstein della relatività generale.

F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}

Forza di Coulomb.

Storia

Il simbolo "π" per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 dal matematico inglese William Jones quando pubblicò "A New Introduction to Mathematics", benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò standard dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi π è la prima lettera di περιμετροσ (perimetros), che significa 'misura attorno' in greco. Inoltre il simbolo π venne usato all'inizio dallo stesso William Jones che, nel 1706 lo usò in onore di Pitagora (l'iniziale di pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π, ma trattandosi di un numero si preferisce usare la minuscola). Tuttavia, ancora nel 1739 lo svizzero Eulero usava il simbolo "p".

Ecco una breve cronologia di π:

20º secolo a.C.: i Babilonesi usavano 25/8 per π
20º secolo a.C.: gli Egizi (Papiro di Rhind) usano π = (16/9)² = 3.1605
20° secolo a.C.: Vitruvio usa 25/8
12º secolo a.C.: i Cinesi usano 3 per π
550 a.C.: Nell'Antico Testamento si dice (non esplicitamente) che il π è uguale a 3
434 a.C.: Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso
430 a.C.: Antifonte e Brisone di Eraclea esprimono il Principio di esaustione
335 a.C.: Dinostrato usa la quadratrice per quadrare il cerchio
3º secolo a.C.: Archimede, utilizzando un poligono di 96 lati, scopre che 223/71 < π < 22/7, e trova inoltre l'approssimazione π = 211875/67441
2º secolo d.C.: Tolomeo usa π = 377/120 = 3.14166...
3º secolo d.C.: Chang Hong usa π = √10, Wang Fau usa π = 142/45 e Liu Hui usa π = 157/50
5º secolo d.C. (450 circa): Zu Chongzhi (Tsu Ch'ung-chih) scopre che 3.1415926 < π < 3.1415927, e utilizza il valore 355/113 = 3.1415929...
6º secolo d.C.(530 circa): Aryabhatta, in India, utilizzò il valore 62832/20000
7° secolo d.C.(650 circa): Brahmagupta, in India, utilizzò il valore √ 10
9º secolo d.C.: Al Khwarizmi usa 3.1416
1220: Fibonacci usa il valore 3.141818
1430: Al Kashi calcola le prime 14 cifre di π
1573: Valenthus Otho calcola le prime 6 cifre di π
1593: François Vieta calcola 9 cifre di π e Dutch Adriaen van Roomen 15 cifre
1596: Ludolph van Ceulen calcola 32 cifre di π.
1610: Van Ceulen, 35 cifre
1621: Willebrord Snell perfeziona il metodo di Archimede
1654: Huygens dimostra la validità del perfezionamento di Snell
1655: John Wallis trova un prodotto infinito razionale per π; Brouncker lo converte in una frazione continua
1663: Muramatsu Shigekiyo in Giappone trova 7 cifre decimali esatte
1665: Isaac Newton scopre il calcolo infinitesimale e calcola il π fino alla 16° cifra decimale
1671: James Gregory scopre le serie delle arcotangenti
1674: Gottfried Wilhem Leibniz scopre la serie delle arcotangenti per π
1699: Abraham Sharp, 72 cifre
1700: Seki Kowa in Giappone calcola 10 cifre
1730: Kamata in Giappone calcola 25 cifre
1706: John Machin, 100 cifre
1713: La Corte Cinese pubblica il Su-li Ching-yun e presenta le prime 19 cifre decimali di π
1719: Thomas Fantet de Lagny calcola 127 cifre, di cui 112 sono corrette
1723: Takebe Kenko in Giappone calcola 41 cifre
1734: Adottato da Eulero, l'uso del simbolo π si diffonde
1739: Matsunaga, 50 cifre
1748: Eulero pubblica l'introductio in analysin infinitorium contenente il cosiddetto Teorema di Eulero e molte serie per π e π²
1761: Johann Heinrich Lambert prova che π è un numero irrazionale
1775: Eulero deriva una serie di arcotangenti rapidamente convergenti e ipotizza che π possa essere trascendente
1794: von Vega, 140 cifre, di cui 136 sono corrette
1794: Adrien-Marie Legendre dimostra che π² (e quindi π) è irrazionale, e considera la possibilità che π sia trascendente
1824: Rutherford calcola 208 cifre, di cui 152 sono corrette
1844: Strassnitzky calcola fino a 200 cifre
1847: Thomas Clausen, 248 cifre
1853: Lehmann, 261 cifre
1853: Rutherford, 440 cifre
1855: Richter, 500 cifre
1874: William Shanks, 707 cifre, ma solo 527 sono corrette
1874: Tseng Chi-hung calcola in Cina 100 cifre
1882: Ferdinand von Lindemann dimostra che π è trascendente
1947: D. F. Ferguson, 808 cifre calcolate in quasi un anno, utilizzando una delle prime calcolatrici da tavolo
1948: George Rietwiesner, John von Newmann e N. C. Metropolis 2037 cifre calcolate in 70 ore utilizzando l'ENIAC (il primo computer su larga scala)
1954: La marina statunitense calcolò 3089 cifre in 13 minuti alla presentazione del NORC (il supercomputer commissionato alla IBM)
1958: Paris Data Processing Center, 10'000 cifre calcolate in un'ora e 40 minuti utilizzando un IBM 704
1961: John Wrench e Daniel Sharnks (nessuna parentela con William Shanks), 100'265 cifre calcolate in 8 ore, 43 minuti e 12 secondi utilizzando un IBM 7090
1966: Paris Data Processing Center, 250'000 cifre del Pi greco con un IBM 7030 Stretch
1967: Paris Data Processing Center, 500'000 cifre mediante CDC 6600
1973: Jean Guilloud e M. Bouyer, 1'000'000 cifre calcolate in 23 ore e 18 minuti con il computer CDC 7600
1976: Eugene Salamin e Richard Brent svilupparono indipendentemente un algoritmo quadraticamente convergente per il calcolo del Pi greco, algoritmo che poi risultò molto simile a quello per la valutazione degli integrali ellittici di Carl Friedrich Gauss
1982: Yoshiaki Tamura e Yasumasa Kanada, 8'388'608 cifre calcolate in meno di 30 ore utilizzando l'algoritmo di Gauss-Brent-Salamin con un computer Hitac M-280H
1988: Yasumasa Kanada, 201'326'000 cifre calcolate in 6 ore utilizzando un Hitachi S'820
1989: i fratelli David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky, 480'000'000 cifre
1989: Yasumasa Kanada, 536'000'000 cifre
1989: David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky, 1'000'000'000 cifre
1995: Yasumasa Kanada, 6'000'000'000 cifre
1996: David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky, più di 8'000'000'000 cifre
1997: Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura, 51'539'607'552 cifre calcolate in poco più di 29 ore utilizzando un computer Hitachi SR2201
2003: Yasumasa Kanada, 1'241'100'000'000 cifre calcolate in più di 600 ore utilizzando 64 computer Hitachi SR8000/MPP

Approssimazioni numeriche di π

A causa della sua natura trascendente, non ci sono semplici espressioni finite che rappresentano π. Di conseguenza i calcoli numerici devono usare approssimazioni del numero. In molti casi, 3,14 o 22/7 è sufficiente, ma molti ingegneri spesso usano 3,1416 (cinque cifre significative) o 3,14159 (6 cifre significative).

Uno scriba egizio di nome Ahmes è l'origine del più antico testo conosciuto contenente un'approssimazione di π. Il papiro di Rhind è datato al 17º secolo AC e descrive il valore come 256/81 oppure 3,160.

Il matematico cinese Liu Hui calcolò π come 3,141014 (scorretto dalla quarta cifra decimale) nel 263 D.C. e suggerì 3,14 come buona approssimazione.

Il matematico ed astronomo cinese Zu Chongzhi calcolò nel 5º secolo π come compreso fra 3,1415926 e 3,1415927 e diede due approssimazioni di π: 355/113 e 22/7.

Il matematico ed astronomo iraniano Ghyath ad-din Jamshid Kashani, 1350-1439, calcolò le prime 9 cifre in base 60 di π, che sono equivalenti nella base decimale alle 16 cifre:

2 π = 6,2831853071795865

Il matematico tedesco Ludolph van Ceulen (1600 circa) calcolò i primi 35 decimali. Era così fiero del suo risultato che lo fece scrivere sulla sua lapide.

Il matematico sloveno Jurij Vega nel 1789 calcolò le prime 140 cifre decimali di π, di cui le prime 137 erano corrette, e mantenne il record mondiale per 52 anni, fino al 1841, quando William Rutherford calcolò 208 cifre decimale di cui le prime 152 erano corrette. Vega migliorò la formula proposta da John Machin nel 1706.

Nessuna delle formule sopraelencate può fornire un efficiente metodo per l'approssimazione di π. Per calcoli veloci, si può usare una formula come quella di Machin:

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

Insieme con l'espansione delle serie di Taylor per la funzione arctan(x). Questa formula si può verificare facilmente usando le coordinate polari dei numeri complessi, partendo da:

(5+i)^{4}\cdot (-239+i)=-114244-114244i.

Formule di questo genere sono note come formule di tipo Machin.

Espansioni decimali molto lunghe di π sono calcolate tipicamente con l'algoritmo Gauss-Legedre e l'algoritmo Borwein; in passato era usato anche l'algoritmo Salamin-Brent, inventato nel 1976.

L'elenco del primo milione di cifre di π e di 1/π si può trovare sul Progetto Gutenberg (vedi il collegamento esterno a fondopagina). Il record attuale (Dicembre 2002) è di 1.241.100.000.000 di cifre, calcolate nel settembre 2002 su un supercomputer Hitachi a 64 nodi con un terabyte di memoria principale, in grado di compiere 2 miliardi di operazioni per secondo, quasi il doppio del computer usato per il precedente record (206 miliardi di cifre). Sono state usate le seguenti formule di tipo Machin:

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}

K. Takano (1982).

{\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}

F. C. W. Störmer (1896).

Queste approssimazioni sono così complesse da non essere utili per nessuno scopo pratico, se non per provare nuovi supercomputer.

Nel 1996 David H. Bailey, insieme a Peter Borwein e Simon Plouffe, scoprì una nuova formula per calcolare π come serie infinita:

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)

Questa formula permette di calcolare facilmente la k-esima cifra binaria o esadecimale di π senza dover calcolare tutte le cifre precedenti. Il sito web di Bailey ne contiene l'implementazione in vari linguaggi di programmazione.

Alcune altre formule usate per calcolare stime di π sono:

{\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+{\frac {4}{9}}(1+...)\right)\right)\right)

Newton.

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

Ramanujan.

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}

David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky.

{\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}-8\arctan {\frac {3}{79}}

Eulero.

Questioni aperte

La più pressante questione aperta su π riguarda il fatto che sia o meno normale, cioè se la frequenza con cui è presente ogni sequenza di cifre sia la stessa che ci si aspetterebbe se le cifre fossero completamente casuali. Questo deve essere vero in ogni base, non solo in base 10. Non sappiamo molto su questo.

Bailey e Crandall dimostrarono nel 2000 che l'esistenza della sopramenzionata formula Bailey-Borwein-Plouffe e formule simili implica che la normalità in base 2 di π si deduce da una plausibile congettura della teoria del caos. Vedi il sopramenzionato sito web di Bailey per ulteriori informazioni.

La natura di π

Nelle geometrie non-euclidee la somma degli angoli interni di un triangolo può essere maggiore o minore di π e il rapporto fra una circonferenza ed il suo diametro può non essere π. Questo non cambia la definizione di π, ma influisce su qualsiasi formula in cui appare π. Quindi, in particolare, π non è legato alla forma dell'universo; è una costante matematica, non fisica.

Cultura legata al Pi greco

C'è un intero campo di studi divertenti, ma seri, che riguardano l'uso di tecniche di memorizzazione per ricordare le cifre di π.

Esempio: "Tre imperfettibile è degno archetipo di quella serie che svela, volgendo circolare, mirabil relazione". Contando le lettere di ogni parola della frase si individuano le prime 14 cifre decimali di pi-greco: 3,14159265358979.

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