Teorema di Kellogg (punto fisso)

Il teorema di unicità di Kellogg è un teorema di analisi matematica. Il teorema fornisce una condizione di unicità per il punto fisso dato dal teorema di Brouwer (e dal teorema di Shauder nel caso a dimensione infinita).

Il teorema è stato dimostrato nel 1975 da R. B. Kellogg, e pubblicato sulla rivista Proceedings of the AMS.

Il teorema

Data una funzione continua

${\displaystyle f:{\overline {D}}\to {\overline {D}}}$ 

definita sul disco chiuso

${\displaystyle {\overline {D}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|\leqslant 1\},}$ 

il teorema di Brouwer garantisce l'esistenza di un punto fisso, cioè un ${\displaystyle x}$  tale che

${\displaystyle f(x)=x}$ .

Il teorema di Kellogg garantisce che, sotto opportune ipotesi, tale punto fisso è anche unico (similmente a quanto accade nel teorema delle contrazioni.

Se valgono le ipotesi seguenti:

1. La funzione ${\displaystyle f}$  è differenziabile nell'interno ${\displaystyle D}$ ;
2. Per ogni ${\displaystyle x}$  in ${\displaystyle D}$ , il differenziale ${\displaystyle f'}$  non ha autovalore 1.
3. Non esistono punti fissi sul bordo. In altre parole, ${\displaystyle f(x)\neq x}$  per ogni ${\displaystyle x}$  in ${\displaystyle \partial D}$ .

Allora ${\displaystyle f}$  ha un unico punto fisso nell'interno ${\displaystyle D}$ .

Nell'enunciato, ${\displaystyle D}$  è l'interno del disco

${\displaystyle D=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}.}$ 

Esiste una versione del teorema con dimensione infinita.

Collegamenti esterni

• L'articolo di Kellog sui Proceeding of the AMS, rivista della American Mathematical Society.