Teorema di Cantor

In matematica il paradosso di Cantor, conosciuto anche come il paradosso del massimo cardinale, è un teorema della teoria degli insiemi che afferma che non esiste un numero cardinale maggiore di tutti gli altri, e quindi la collezione di "grandezze" di insiemi infiniti è a sua volta infinita. Inoltre, da questa constatazione segue che la collezione di tutti i numeri cardinali non è un insieme ma una classe propria; nella Teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel segue anche (utilizzando l'assioma di limitazione di dimensione) che questa classe propria deve essere in corrispondenza biunivoca con l'insieme di tutti gli insiemi. Quindi non solo esiste un numero infinitamente grande di infiniti, ma questo infinito è anche più grande di tutti gli infiniti che esso enumera.

Questo paradosso prende il nome da Georg Cantor, che è stato spesso accreditato come il suo scopritore nel 1899 (o comunque in un periodo compreso tra il 1895 e il 1897). Come molti altri paradossi matematici non è contraddittorio, ma semplicemente è indicativo di una intuizione non corretta, che in questo caso riguarda la natura dell'infinito e la nozione di insieme. Detto in altri termini, è contraddittorio nella teoria intuitiva degli insiemi e perciò dimostra che questa teoria è insufficiente per le necessità della matematica. Il fatto che la teoria NBG risolva il paradosso è un motivo per utilizzarla come rimpiazzo della teoria intuitiva degli insiemi.

La dimostrazione

Sia ${\displaystyle f}$  una generica funzione da ${\displaystyle A}$  nell'insieme delle parti di ${\displaystyle A}$ :

${\displaystyle f\colon A\to {\mathcal {P}}(A).}$ 

Per provare il teorema si deve mostrare che ${\displaystyle f}$  è necessariamente non suriettiva. A tal fine è sufficiente individuare un elemento di ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$  che non è nell'immagine di ${\displaystyle f}$ . Questo elemento è:

${\displaystyle B=\left\{x\in A:x\not \in f(x)\right\}\in {\mathcal {P}}(A).}$ 

Per dimostrare che ${\displaystyle B}$  non è nell'immagine di ${\displaystyle f}$ , si suppone per assurdo che lo sia. Per qualche ${\displaystyle y\in A}$ , si ha allora ${\displaystyle f(y)=B}$ . Si considerano ora i due casi possibili:

${\displaystyle y\not \in B}$  oppure ${\displaystyle y\in B.}$ 

Se ${\displaystyle y\not \in B=f(y)}$  allora per la definizione di ${\displaystyle B}$  si ha ${\displaystyle y\in B}$ , assurdo.

Se ${\displaystyle y\in B=f(y)}$  allora per la definizione di ${\displaystyle B}$  si ha ${\displaystyle y\not \in B}$ , assurdo.

In entrambi i casi si ottiene una contraddizione. Quindi ${\displaystyle A}$  e il suo insieme potenza non sono equipotenti.

Voci correlate

• Teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel
• Georg Cantor
• Paradosso dell'ipergioco

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