Varietà stabile

In matematica, ed in particolare nello studio dei sistemi dinamici, una varietà stabile di un punto di equilibrio di un sistema dinamico è l'insieme dei punti che si muovono verso il punto nell'avanzare del tempo. Nello specifico, dato un sistema dinamico:

${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)\qquad x\in M}$

definito da un campo vettoriale ${\displaystyle v}$ su una varietà ${\displaystyle M}$, per esempio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, l'immagine (orbita) del flusso ${\displaystyle \phi _{t}(x)=x(t,x_{0})}$ è la traiettoria compiuta dal sistema a partire dal punto iniziale ${\displaystyle x_{0}}$. Sia ${\displaystyle p}$ un punto di equilibrio:

${\displaystyle v(p)=0}$

Esso è un punto fisso del flusso:

${\displaystyle \phi (p)=p}$

ovvero una soluzione stazionaria (invariante nel tempo) dell'equazione differenziale. L'insieme:

${\displaystyle V_{p}=\{x\in M:\lim _{x\to +\infty }\phi (x)=p\}}$

è detto varietà stabile del sistema dinamico.

Analogamente, l'insieme:

${\displaystyle V'_{p}=\{x\in M:\lim _{x\to -\infty }\phi (x)=p\}}$

è detto varietà instabile.

Bibliografia

• (EN) Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X
• (EN) S. S. Sritharan, "Invariant Manifold Theory for Hydrodynamic Transition", (1990), John Wiley & Sons, NY, ISBN 0-582-06781-2

Voci correlate

• Flusso (matematica)
• Orbita (matematica)
• Punto di equilibrio
• Punto fisso
• Sistema dinamico

Collegamenti esterni

• Treccani - Varietà stabile (Luca Tomassini)

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