Coefficiente binomiale

Il coefficiente binomiale è definito da

${\displaystyle C(n;k)={n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}}$

(dove n! è il fattoriale di n) e può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia.

Per esempio:

${\displaystyle {5 \choose 3}={\frac {5!}{3!(5-3)!}}={120 \over 12}=10\,}$

e ha le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}$

Dimostrazione

${\displaystyle {n \choose 0}={{n!} \over {0!(n-0)!}}={n! \over n!}=1}$

${\displaystyle {n \choose n}={{n!} \over {n!(n-n)!}}={n! \over n!}=1}$

• ${\displaystyle {n \choose 1}={n \choose n-1}=n}$

Dimostrazione

${\displaystyle {n \choose 1}={{n!} \over {1!(n-1)!}}={{n!} \over {(n-1)![n-(n-1)]!}}={n \choose n-1}=n}$

• ${\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}}$

Dimostrazione

${\displaystyle {n \choose k}={{n!} \over {k!(n-k)!}}={{n!} \over {(n-k)![n-(n-k)]!}}={n \choose n-k}}$

• ${\displaystyle {n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k}}$ , formula per il binomio di Newton

Dimostrazione

${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={{n!} \over {(k+1)!(n-k-1)!}}+{{n!} \over {k!(n-k)!}}}$

considerando il fatto che ${\displaystyle (n-k)!=(n-k)(n-k-1)!}$, ed allo stesso modo ${\displaystyle (k+1)!=(k+1)k!}$ si ha ${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={{n!} \over {(k+1)k!(n-k-1)!}}+{{n!} \over {(n-k)k!(n-k-1)!}}}$

da cui si ottiene

${\displaystyle {(n-k){n!} \over {(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}+{(k+1){n!} \over {(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}}$

e quindi

${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={(n-k+k+1){n!} \over {(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}}}$

${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={{(n+1)!} \over {(k+1)!(n-k)!}}={n+1 \choose k+1}}$

ovvero la tesi

• ${\displaystyle {n+1 \choose k+1}={k \choose k}+{k+1 \choose k}+{k+2 \choose k}+...+{n-1 \choose k}+{n \choose k}}$
• ${\displaystyle 2^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n-1}+{n \choose n}}$

Dimostrazione

Partendo dal Teorema binomiale abbiamo:

${\displaystyle 2^{n}a^{n}=(2a)^{n}=(a+a)_{}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}a^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n}}$

Dividendo il primo e l'ultimo termine dell'uguaglianza per ${\displaystyle a^{n}}$ abbiamo che:

${\displaystyle 2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n}}$

Applicazioni

Il coefficiente binomiale è utilizzato per il calcolo dello sviluppo di un binomio, mediante la formula di newton, ma soprattutto nel calcolo combinatorio. Infatti il numero ${\displaystyle {n \choose k}\,}$  indica il numero totale di gruppi di ${\displaystyle k\,}$  elementi che si possono formare partendo da ${\displaystyle n\,}$  elementi. Per esempio per stabilire quante possibili coppie di rappresentanti di classe si possono avere in una classe di 25 alunni, basta calcolare

${\displaystyle {25 \choose 2}={25! \over 2!(25-2)!}=300\,}$ 

allora ci sono 300 diverse possibilità di abbinamento dei due rappresentanti di classe.