Problemi irrisolti in matematica

La storia della matematica è stata sempre segnata dalla questione dei problemi irrisolti, vale a dire quelle congetture e domande delle quali, in ogni epoca, non si conosce la soluzione e che sembrano inattaccabili con i mezzi dell'indagine matematica, la cui soluzione, spesso, si è dimostrata in grado di schiudere nuovi orizzonti allo sviluppo del pensiero matematico.

Storia

I problemi aperti hanno sempre rivestito una grande importanza in matematica, contribuendo a segnarne la storia, dal momento che le domande poste in questa categoria di problemi "a volte [...] illuminano [sugli] sviluppi futuri di questa disciplina"^[1]. Ma l'efficacia di questa precognizione prospettica è spesso contraddetta da una considerazione che proviene proprio da considerazioni retrospettive: la storia della matematica, infatti, insegna come molto spesso la soluzione di problemi aperti sia avvenuta attraverso approcci e sviluppi inattesi e imprevedibili all'epoca della loro formulazione, o attraverso collocazione in un diverso ambito specialistico^[1].

Esempi di questa inefficacia predittiva sulle strade intraprese dagli sviluppi matematici successivi sono forniti dalla soluzione delle note questioni sulla duplicazione del cubo e sulla trisezione dell'angolo con riga e compasso, problemi che hanno resistito per millenni prima che si avesse familiarità con nuove tecniche e prima che si individuasse il giusto contesto matematico in cui andava collocata la ricerca della loro soluzione. Quest'ultimo, infatti, risulta essere spesso molto diverso da quello in cui il problema si collocava in origine^[1].

A dispetto della profondità delle questioni soggiacenti, molti problemi aperti ammettono una formulazione in termini estremamente semplici ed elementari, accessibili anche a un profano della materia: esempi di queste formulazioni elementari sono i già citati problemi di costruzione con riga e compasso, a cui si possono aggiungere altri, come la congettura di Goldbach, concernente forme di regolarità nella distribuzione dei numeri primi, oppure il teorema dei quattro colori, o il celebre ultimo teorema di Fermat.

Problemi proposti per il XX secolo

Proprio per gli effetti che tali problemi possono avere sullo sviluppo futuro, a volte si è ritenuta utile la compilazione di liste per individuare questioni giudicate molto significative. Un esempio celebre è quello dei problemi di Hilbert, una lista di 23 questioni irrisolte compilata da David Hilbert e proposta nell'estate del 1900 alla comunità matematica internazionale in occasione del Congresso internazionale dei matematici di Parigi. La presenza dei problemi di Hilbert si è riverberata sulla storia della matematica fin oltre il secolo XX.

Altro esempio novecentesco è costituito dai Problemi di Landau proposti nel 1912 da Edmund Landau. Celebri sono poi i problemi del cosiddetto Libro Scozzese, una raccolta di questioni matematiche e problemi matematici irrisolti (soprattutto nel campo dell'analisi funzionale) compilata negli anni trenta del Novecento durante riunioni conviviali di professori e studenti della celebre Scuola matematica di Leopoli, in Polonia, un cenacolo culturale che annoverava figure di eminenti matematici, come Stefan Banach, Stanisław Ulam, Alfred Tarski, Hugo Steinhaus, Stanisław Mazur, Juliusz Paweł Schauder e numerosi altri^[2].

XXI secolo

La sfida si è ripetuta all'approssimarsi dell'inizio del XXI secolo, quando, anche su impulso dell'Unione matematica internazionale, per il tramite di Vladimir Igorevič Arnol'd, è stata suggerita la redazione di liste analoghe a quella di Hilbert, da sottoporre all'attenzione del Congresso internazionale di matematica dell'anno 2000, dichiarato dall'ONU anno internazionale della matematica.

Tra le liste prodotte per il XXI secolo vi sono i problemi di Smale, proposti da Stephen Smale, medaglia Fields e premio Wolf per la matematica. Altro esempio famoso è la lista dei problemi per il millennio formulata dall'Istituto matematico Clay, alla soluzione di ognuno dei quali è legato un munifico premio (1 milione di dollari statunitensi) promesso dalla stessa Fondazione Clay^[1].

Esempi notevoli

Questa sezione contiene alcuni tra i più significativi problemi che sono stati proposti come sfida alla comunità matematica, e sono stati classificati, per un tempo più o meno lungo, o lo sono tuttora, tra le questioni irrisolte della storia della matematica.

Problemi di Hilbert

I Problemi di Hilbert costituiscono uno degli esempi più celebri: è una lista di 23 problemi matematici, stilata da David Hilbert, dieci dei quali furono presentati l'8 agosto 1900 nel corso della conferenza da lui tenuta al Congresso internazionale dei matematici svoltasi a Parigi.

Alcuni dei problemi di Hilbert trovarono soluzione negli anni successivi, spesso dopo aver resistito a lungo agli attacchi dei matematici: la ricerca di soluzioni a questi problemi ha avuto un notevole impatto sullo sviluppo della matematica tra XX e XXI secolo.

I problemi della scuola matematica di Leopoli

Per Enflo (a destra) riceve un'oca viva da Stanisław Mazur, nel 1972, premio promesso negli anni trenta per la soluzione del problema 153 del Libro Scozzese.

I problemi del cosiddetto Libro Scozzese ebbero origine nell'ambito della celebre Scuola matematica di Leopoli, in Polonia, a cui si devono fondamentali sviluppi nell'analisi funzionale attraverso eminenti figure di matematici, come Stefan Banach, Stanisław Ulam, Alfred Tarski, Hugo Steinhaus, Stanisław Mazur, Juliusz Paweł Schauder, e numerosi altri. Il nome della raccolta deriva da quello del Caffè scozzese, il locale che fu sede delle riunioni informali di studenti e professori che animarono il celebre sodalizio scientifico.

I problemi per il millennio

I sette problemi per il millennio, indicati nel 2000 dall'Istituto matematico Clay, sono:

P contro NP
Congettura di Hodge
Congettura di Poincaré (anni '60 per dimensioni superiori a 4; 1982 per il caso quadridimensionale; 2002 per il caso in tre dimensioni)
Ipotesi di Riemann
Teoria di Yang-Mills
Equazioni di Navier-Stokes
Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

Famosi problemi irrisolti

Congettura dei numeri primi gemelli
Determinazione del numero di quadrati magici di ordine $n$
Congettura di Gilbreath
Congettura di Goldbach
Congettura debole di Goldbach
I valori di $g(k)$ e $G(k)$ nel problema di Waring
Congettura di Erdős sulle progressioni aritmetiche
Congettura di Erdős-Gyárfás
Congettura di Erdős-Straus
Cuboide perfetto
Sedicesimo problema di Hilbert
Problemi di Landau
Problema di Brocard
Problema di Galois inverso
Problema limitato di Burnside
Congettura di Polignac
Problema generalizzato dell'altezza star
Congettura di Collatz
Congettura di Schanuel
Congettura abc
Trovare una formula per la probabilità che due elementi scelti casualmente generino il gruppo simmetrico $S_{n}$
Dimostrazione dell'infinità dei numeri primi di Mersenne (congettura di Lenstra-Pomerance-Wagstaff) o, in modo equivalente, dimostrazione dell'infinità dei numeri perfetti
Esistenza di infiniti primi regolari
I numeri primi regolari sono circa $e^{-{\frac {1}{2}}}$ di tutti i numeri primi (percentuale pari a circa il 61%)
Esistenza di infiniti primi di Cullen
Dimostrazione dell'infinità dei primi palindromi in base 10
Esistenza di numeri perfetti dispari
Esistenza di numeri fatidici dispari
Esistenza dei numeri lievemente abbondanti
Esistenza di infinite quadruple di primi
Esistenza di un numero quasi perfetto
Esistenza di infiniti numeri primi di Sophie Germain
Esistenza di un numero di Wall-Sun-Sun
Modellizzazione dei mergers dei buchi neri
Qual è il più piccolo numero di Riesel?
Qual è il più piccolo numero di Sierpinski?
Ogni numero di Fermat è composto per $n>4$ ?
La costante di Eulero-Mascheroni è irrazionale?
Ogni gruppo di torsione a presentazione finita è finito?

Problemi risolti di recente

Quelli che seguono sono esempi di "problemi aperti" che hanno resistito a lungo alla ricerca di soluzione, prima che venissero risolti a partire dagli ultimi decenni del XX secolo:

Teorema di Green-Tao, 2004
Congettura di Poincaré (anni '60 per dimensioni superiori a 4; 1982 per il caso quadridimensionale; 2002 per il caso in tre dimensioni)
Teorema di Mihăilescu, 2002
Teorema di Taniyama-Shimura, 1999
Congettura di Keplero, 1998
Ultimo teorema di Fermat, 1994
Teorema di de Branges, 1984
Teorema dei quattro colori, 1977

Note

^ ^a ^b ^c ^d Claudio Procesi, Matematica: problemi aperti, Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2007)
^ Bożena Myciek, Il viaggio sentimentale dei polacchi a Leopopli, in M. G. Bartolini, G. Brogi Bercoff (a cura di), Kiev e Leopoli. Il testo culturale, 2007, p. 113.

Bibliografia

Claudio Procesi, Matematica: problemi aperti, Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2007), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani.
Fan Chung, Ron Graham (1999): Erdos on Graphs: His Legacy of Unsolved Problems, AK Peters, ISBN 156881111X
Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer, Richard K. Guy (1994): Unsolved Problems in Geometry, Springer, ISBN 0387975063
Richard K. Guy (2004): Unsolved Problems in Number Theory, Springer, ISBN 0387208607
Victor Klee, Stan Wagon (1996): Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Mathematical Association of America, ISBN 0883853159
Florentin Smarandache (2000): Definitions, Solved and Unsolved Problems, Conjectures, and Theorems in Number Theory and Geometry, Amer Research, ISBN 187958574X