Somma di potenze di interi successivi

Un problema enumerativo di grande interesse riguarda la valutazione delle somme delle potenze di interi successivi

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}}$

dove m ed n denotano numeri interi positivi. Si osserva che la precedente espressione definisce una successione a due indici interi a valori interi positivi, cioè una funzione dell'insieme

${\displaystyle \left\{\mathbb {N_{+}} \times \mathbb {N_{+}} ~\mapsto ~\mathbb {N_{+}} \right\}}$ .

Si dimostra facilmente in vari modi che

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={{n(n+1)} \over 2}}$

Risulta abbastanza agevole anche trovare che

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={{n(n+1)(2n+1)} \over 6}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}={{n^{2}(n+1)^{2}} \over 4}}$

Queste due formule si dimostrano senza difficoltà per induzione.

Si osserva che la somma delle potenze m-esime dei primi n interi positivi è data da un polinomio di grado m+1 nella n a coefficienti razionali. In effetti Carl Jacobi nel 1834 ha dimostrato che questa proprietà vale per tutti gli interi positivi.

Si osserva anche che, soprattutto se n è elevato, la valutazione delle somme effettuata mediante il calcolo di questi polinomi è molto più agevole della valutazione effettuata servendosi direttamente della definizione.

È quindi utile conoscere le espressioni dei polinomi relativi ai successivi valori n degli esponenti.

Le espressioni per i successivi valori di n furono individuate da Johann Faulhaber e pubblicate nel 1631 e una espressione generale, conosciuta come formula di Faulhaber è stata dimostrata da Jacobi.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}={1 \over (m+1)}\sum _{k=0}^{m}{{m+1} \choose k}B_{k}(n+1)^{m+1-k}}$

In questa e altre formule intervengono i numeri di Bernoulli ${\displaystyle \,B_{n}}$ ed i polinomi di Bernoulli ${\displaystyle \,B_{n}(x)}$.

La tavola delle espressioni polinomiali prosegue per m = 4, 5, ..., 10 nel seguente modo:

${\displaystyle {\begin{matrix}\sum _{k=1}^{n}k^{4}={1 \over 30}(6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n)\\\ \\\sum _{k=1}^{n}k^{5}={1 \over 12}(2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2})\\\ \\\sum _{k=1}^{n}k^{6}={1 \over 42}(6n^{7}+21n^{6}+21n^{5}-7n^{3}+n)\\\ \\\sum _{k=1}^{n}k^{7}={1 \over 24}(3n^{8}+12n^{7}+14n^{6}-7n^{4}+2n^{2})\\\ \\\sum _{k=1}^{n}k^{8}={1 \over 90}(10n^{9}+45n^{8}+60n^{7}-42n^{5}+20n^{3}-3n)\\\ \\\sum _{k=1}^{n}k^{9}={1 \over 20}(2n^{10}+10n^{9}+15n^{8}-14n^{6}+10n^{4}-3n^{2})\\\ \\\sum _{k=1}^{n}k^{10}={1 \over 66}(6n^{11}+33n^{10}+55n^{9}-66n^{7}+66n^{5}-33n^{3}+5n)\\\ \\\end{matrix}}}$

I polinomi che si ottengono hanno come fattori ${\displaystyle n(n+1)(n+1/2)}$ per ${\displaystyle k\geq 2}$ pari, o ${\displaystyle n^{2}(n+1)^{2}}$ per ${\displaystyle k\geq 3}$ dispari; inoltre sono simmetrici rispetto a ${\displaystyle n=1/2}$, nel senso che se si sostituisce ${\displaystyle -n-1}$ a ${\displaystyle n}$, si ottiene lo stesso polinomio se ${\displaystyle k}$ è dispari o il polinomio opposto se ${\displaystyle k}$ è pari.

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