Algoritmo di Chudnovsky

L'Algoritmo di Chudnovsky rappresenta un metodo veloce per il calcolo delle cifre decimali della costante Pi greco. Fu pubblicato dai Fratelli Čudnovskij nel 1989^[1], ed usato per ottenere il record mondiale con il calcolo di 2.7 trilioni di cifre decimali di π nel dicembre del 2009^[2],5 trilioni di cifre decimali nell'agosto del 2000^[3], 10 trilioni di cifre decimali nell'ottobre del 2011^[4][5] e 12.1 trilioni di decimali del dicembre del 2013.^[6].

L'algoritmo di basa sul Numero di Heegner negato ${\displaystyle d=-163}$, la funzione j ${\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}}$ e sulla rapida convergenza della serie ipergeometricha generalizzata:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(640320^{3})^{k+1/2}}}.\!}$

Si noti che 545140134 = 163 x 3344418 e,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots }$

Questa identità è simile a quella di alcune formule di Ramanujan che riguardano π^[2] ed è un esempio di una Serie di Ramanujan–Sato.

References

1. ^ The Computation of Classical Constants, in Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 86, n. 21, 1989, pp. 8178–8182, DOI:10.1073/pnas.86.21.8178..
2. Ramanujan's series for 1/π: a survey, in American Mathematical Monthly, vol. 116, n. 7, 2009, pp. 567–587, DOI:10.4169/193009709X458555..
3. ^ Geeks slice pi to 5 trillion decimal places, Australian Broadcasting Corporation, August 6, 2010..
4. ^ 10 Trillion Digits of Pi: A Case Study of summing Hypergeometric Series to high precision on Multicore Systems, Computer Science Department, University of Illinois, 2011.
5. ^ Jacob Aron, Constants clash on pi day, in NewScientist, March 14, 2012.
6. ^ Alexander J. Yee, 12.1 Trillion Digits of Pi, su numberworld.org, 28 December 2013.