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Teorema delle medie di Cesaro

Il teorema delle medie di Cesaro permette di calcolare il limite della successione delle medie di una successione ${\displaystyle a_{n}}$ , noto il limite di ${\displaystyle a_{n}}$ . La successione delle medie di ${\displaystyle a_{n}}$  si definisce come: ${\displaystyle (\sigma _{n})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ . Secondo questo teorema ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma _{n}=\lim _{n\to \infty }a_{n}}$ 

dimostrazione

${\displaystyle |\sigma _{n}-l|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-l\right|=\left|{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|}$ 

Spezzando la sommmatoria da 1 a n e da n a n si ha:

${\displaystyle \left|{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=n+1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|\forall }$