Metodo delle variazioni delle costanti

In analisi matematica, il metodo delle variazione delle costanti o metodo di Lagrange è una procedura generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua ${\displaystyle f(t)}$ che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.

Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine n arbitrario. La variabile da cui dipende la funzione incognita ${\displaystyle y}$ è chiamata in tutti gli esempi ${\displaystyle t}$.

Equazioni del primo ordine

Una equazione differenziale del primo ordine in forma normale è del tipo:

${\displaystyle y'(t)+a(t)y(t)=f(t)}$ 

Il metodo di variazione delle costanti consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

${\displaystyle \displaystyle {\tilde {y}}=c(t)e^{-A(t)}}$ 

ottenute a partire da una soluzione dell'equazione omogenea associata:

${\displaystyle y'(t)+a(t)y(t)=0}$ 

del tipo:

${\displaystyle y(t)=ce^{-A(t)}}$ 

dove ${\displaystyle A(t)}$  è una primitiva di ${\displaystyle a(t)}$  e ${\displaystyle c}$  è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che la costante ${\displaystyle c}$  viene trasformata in una funzione ${\displaystyle c(t)}$  da determinare.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di ${\displaystyle {\tilde {y}}}$  nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

${\displaystyle {\tilde {y}}'(t)=c'(t)y(t)+c(t)y'(t)}$ 

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

${\displaystyle c'(t)y(t)+c(t)y'(t)+a(t){\tilde {y}}=f(t)}$ 

da cui, sostituendo:

${\displaystyle c'(t)e^{-A(t)}-c(t)a(t)e^{-A(t)}+c(t)a(t)e^{-A(t)}=f(t)}$ 

Semplificando si ottiene:

${\displaystyle c'(t)e^{-A(t)}=f(t)}$ 

Isolando ciò che ci interessa e integrando entrambi i membri:

${\displaystyle c(t)=\int f(t)e^{A(t)}dt}$ 

da cui l'integrale generale dell'equazione completa è:

${\displaystyle {\tilde {y}}=e^{-A(t)}\int f(t)e^{A(t)}dt}$ 

A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o addirittura, non risolvibile con metodi analitici.

Equazioni del secondo ordine

Una equazione differenziale del secondo ordine è del tipo:

${\displaystyle y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)}$ 

Il metodo di variazione delle costanti in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

${\displaystyle \displaystyle {\tilde {y}}=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)}$ 

costruite a partire da due soluzioni ${\displaystyle y_{1}(t)}$  e ${\displaystyle y_{2}(t)}$  dell'equazione omogenea associata:

${\displaystyle y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0}$ 

Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di ${\displaystyle {\tilde {y}}}$  nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

${\displaystyle {\tilde {y}}'(t)=c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)+c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t)}$ 

Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente:

${\displaystyle c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0}$ 

Questo fa sì che risulti:

${\displaystyle {\tilde {y}}'=c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t)}$ 

e di conseguenza:

${\displaystyle {\tilde {y}}''=c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+c_{1}(t)y_{1}''(t)+c_{2}(t)y_{2}''(t)}$ 

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

${\displaystyle (c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+c_{1}(t)y_{1}''(t)+c_{2}(t)y_{2}''(t))+a(c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t))+b(c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t))=f(t)}$ 

e quindi:

${\displaystyle c_{1}(t)(y_{1}''(t)+ay_{1}'(t)+by_{1}(t))+c_{2}(t)(y_{2}''(t)+ay_{2}'(t)+by_{2}(t))+(c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t))=f(t)}$ 

I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché ${\displaystyle y_{1}(t)}$  e ${\displaystyle y_{2}(t)}$  sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a:

${\displaystyle c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t)}$ 

Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite ${\displaystyle c_{1}'}$  e ${\displaystyle c_{2}'}$ :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t)\end{matrix}}\right.}$ 

Il determinante della matrice:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}y_{1}(t)&y_{2}(t)\\y_{1}'(t)&y_{2}'(t)\end{matrix}}\right)}$ 

è il wronskiano di ${\displaystyle y_{1}(t)}$  e ${\displaystyle y_{2}(t)}$ : questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:

${\displaystyle c_{1}'(t)={\frac {-y_{2}(t)f(t)}{y_{2}'(t)y_{1}(t)-y_{1}'(t)y_{2}(t)}}\qquad \qquad c_{2}'(t)={\frac {y_{1}(t)f(t)}{y_{2}'(t)y_{1}(t)-y_{1}'(t)y_{2}(t)}}}$ 

Integrando ${\displaystyle c_{1}'(t)}$  e ${\displaystyle c_{2}'(t)}$  si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente).

Equazioni di ordine n

Nel caso di equazioni di ordine n:

${\displaystyle y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots +a_{0}(t)y(t)=f(t)}$ 

si considerano le n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea e si cerca una soluzione particolare dell'equazione nella forma:

${\displaystyle {\tilde {y}}=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)+\cdots +c_{n}(t)y_{n}(t)}$ 

Si risolve quindi il sistema lineare nelle n incognite ${\displaystyle c_{i}'(t)}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}'(t)=0\\\cdots \cdots \cdots \cdots \\c_{1}'(t)y_{1}^{(n-2)}(t)+c_{2}'(t)y_{2}^{(n-2)}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}^{(n-2)}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}'(t)y_{2}^{(n-1)}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}^{(n-1)}(t)=f(t)\end{cases}}}$ 

Il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e, come sopra, si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea. Si determinano le funzioni incognite integrando gli n termini soluzioni del sistema di cui sopra, per ricavare l'integrale generale dell'equazione.

Nello specifico, data un'equazione ordinaria lineare non omogenea:

${\displaystyle y^{(n)}(t)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(t)y^{(i)}(t)=b(t)}$ 

sia ${\displaystyle y_{1}(t\ldots ,y_{n}(t)}$  un sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea:

${\displaystyle y^{(n)}(t)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(t)y^{(i)}(t)=0}$ 

Allora una soluzione particolare dell'equazione non omogenea è data da:

${\displaystyle y_{p}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}(t)}$ 

dove ${\displaystyle c_{i}(t)}$  sono funzioni differenziabili che si assume soddisfino le condizioni:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(j)}(t)=0\qquad j=0,\ldots ,n-2}$ 

Considerando la soluzione particolare dell'equazione omogenea, differenziando ripetutamente e utilizzando le condizioni precedenti:

${\displaystyle y_{p}^{(j)}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}^{(j)}(t)\qquad j=0,\ldots ,n-1}$ 

Con un'ultima differenziazione si ha:

${\displaystyle y_{p}^{(n)}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(n-1)}(t)+\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}^{(n)}(t)}$ 

Sostituendo quindi la soluzione particolare nell'equazione di partenza e applicando le ultime due relazioni si ottiene:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(n-1)}(t)=b(t)}$ 

Questa equazione e la precedente sono sistemi lineari che possono essere risolti con la regola di Cramer:

${\displaystyle c_{i}'(t)={\frac {W_{i}(t)}{W(t)}}\qquad i=1,\ldots ,n}$ 

dove ${\displaystyle W(t)}$  è il wronskiano del sistema fondamentale di soluzioni e ${\displaystyle W_{i}(t)}$  è il wronskiano del sistema fondamentale con l'i-esima colonna rimpiazzata da ${\displaystyle (0,0,\ldots ,b(t))}$ .

La soluzione particolare dell'equazione non omogenea può essere scritta come:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}(t)\,\int {\frac {W_{i}(t)}{W(t)}}dx}$ 

Bibliografia

• (EN) Earl A. Coddington e Norman Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, New York, McGraw-Hill, 1955.
• (EN) W. E. Boyce e R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 8th Edition, Wiley Interscience, 1965., pages 186-192, 237-241
• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society.

Voci correlate

• Equazione differenziale
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo
• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

Collegamenti esterni

• (EN) N.Kh. Rozov, Variation of constants, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Eric W. Weisstein, Variation of Parameters, in MathWorld, Wolfram Research.

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica