Utente:Na2SiO4/Sandbox

Teorema delle medie di Cesaro

Il teorema delle medie di Cesaro permette di calcolare il limite della successione delle medie di una successione ${\displaystyle a_{n}}$ , noto il limite di ${\displaystyle a_{n}}$ . La successione delle medie di ${\displaystyle a_{n}}$  si definisce come: ${\displaystyle (\sigma _{n})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ . Secondo questo teorema ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma _{n}=\lim _{n\to \infty }a_{n}}$ 

dimostrazione

${\displaystyle |\sigma _{n}-l|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-l\right|=\left|{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|}$ 

Spezzando la sommmatoria da 1 a ${\displaystyle {\bar {n}}}$  e da ${\displaystyle {\bar {n}}}$  a ${\displaystyle n}$  si ha:

${\displaystyle \left|{\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}+\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|\forall n\geq {\bar {n}}=}$ 

${\displaystyle =\left|{\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}}{n}}+{\frac {\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-nl}{n}}\right|}$ 

Essendo: ${\displaystyle \sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-nl=\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}-({\bar {n}}-n)l-{\bar {n}}l=\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}(a_{k}-l)-{\bar {n}}l}$ 

Allora:${\displaystyle |\sigma _{n}-l|=\left|{\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}}{n}}+{\frac {\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}a_{k}}{n}}-{\frac {{\bar {n}}l}{n}}\right|}$ 

Siccome:

I)${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{\bar {n}}a_{k}}{N}}<\varepsilon {\mbox{ per }}{\bar {n}}\leq N{\mbox{ }}\forall \varepsilon >0}$ 

II)${\displaystyle {\frac {\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}(a_{k}-l)}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{k={\bar {n}}+1}^{n}\varepsilon =\varepsilon \cdot {\frac {n-{\bar {n}}}{n}}}$ 

III)<math>\frac{\bar nl}{n} < \varepsilon\mbox{ } \forall \varepsilon > 0\mbox{ e } n > N