Prova 3

Il matematico francese François Viète presentò nel 1600[1] un metodo, già noto nel 1427 da al-Khasi, per la ricerca degli zeri di un polinomio attraverso una perturbazione di una sua soluzione approssimata.

Quattro anni dopo, Newton venne a conoscenza del metodo di Vietè, e nel 1669 scopre autonomamente un metodo per la ricerca degli zeri di un polinomio.

Come esempio mostra la seguente equazione   una cui soluzione ha parte intera  . Applicando la sostituzione   si ricava il polinomio   e trascurando i monomi di grado superiore al primo (linearizzazione), si ottiene  . Per cui si applica la sostituzione   e si arriva a   e per linearizzazione  . Sostituendo   e facendo lo stesso ragionamento si ricava  . Da cui  .

Si possono fare due osservazioni relative al metodo proposto:

  1.   e   per cui il metodo trovato da Newton corrisponde al moderno metodo delle tangenti;
  2. Osservando i valori di p,q e r, si può notare che il numero di zeri dopo la virgola raddoppia ad ogni passo, allora nell'esempio si ha convergenza quadratica.

Nel 1687, nel 'Philosophae Naturalis Principia Mathematica', Newton apllica per la prima volta il metodo ad un'equazione non polinomiale. E' il caso dell'equazione   dove   indica l'anomalia media e   l'anomalia eccentrica. In questo caso, approssimando il seno come somma troncata del suo sviluppo in serie di Taylor, Newton ricavava un polinomio e quindi poteva applicare il metodo da lui trovato.

Nel 1690 il matematico Joseph Raphson riuscì a ricavare un metodo iterativo per aggiornare la soluzione approssimata   senza dover calcolare la potenza del monomio completa e nel 1740 Thomas Simpson, nel libro 'Essays on Several Curious and Useful Subjects in Speculative and Mix's Mathematicks, Illustrated by a variey of Examples' ricavò il moderno metodo delle tangenti riconoscendo il ruolo delle dervate prime nell'aggiornamento della soluzione.

Prova 2


Prova 1