Viscoelasticità

La viscoelasticità è la proprietà dei materiali che esibiscono un comportamento reologico intermedio tra i "materiali puramente viscosi" e i "materiali elastici".

L'individuazione del comportamento viscoelastico viene svolta misurando la variazione della viscosità η in funzione della velocità di deformazione ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$; la grandezza inversa alla viscosità viene chiamata fluidità f. La viscosità (e di conseguenza la fluidità) sono delle proprietà che variano al variare della temperatura,^[1][2] per cui nel caso di un fluido viscoelastico la viscosità dipende sia dalla temperatura che dalla velocità di deformazione, mentre per un fluido puramente viscoso la viscosità dipende esclusivamente dalla temperatura.

Cenni storici

Nel XIX secolo, i fisici James Clerk Maxwell, Ludwig Boltzmann e William Thomson Kelvin studiarono i fenomeni di scorrimento viscoso (anche detto "creep") e recupero di vari materiali, tra cui: vetro, metalli e gomme.^[3] Il fenomeno della viscoelasticità fu ulteriormente indagato quando alla fine del XX secolo vennero creati i polimeri sintetici,^[3] i quali manifestano comportamento viscoelastico.

Materiali elastici, viscosi e viscoelastici

I materiali puramente viscosi rispondono ad una sollecitazione tangenziale manifestando un comportamento coerente con la legge di Newton, cioè originando al loro interno uno sforzo tangenziale pari al prodotto della velocità di deformazione e della viscosità; se sono invece sottoposti ad una sollecitazione normale non si oppongono in alcun modo.

I materiali elastici rispondono ad una sollecitazione normale manifestando un comportamento coerente con la legge di Hooke, cioè originando al loro interno uno sforzo normale pari al prodotto del modulo di Young e della deformazione (espressa in termini di allungamento percentuale) e ritornando al loro stato originario quando queste sollecitazioni cessano; se sono invece sottoposti ad una sollecitazione tangenziale non si oppongono in alcun modo.

I materiali viscoelastici si oppongono sia alle sollecitazioni tangenziali sia alle sollecitazioni normali, generando quindi al loro interno sia sforzi tangenziali sia sforzi normali.

Esempi di materiali viscoelastici

Sebbene alcuni materiali seguano abbastanza bene la legge di Newton oppure la legge di Hooke, tutti i materiali mostrano una deviazione più o meno marcata dal comportamento elastico e dal comportamento puramente viscoso, per cui dal punto di vista pratico tutti i materiali sono viscoelastici.

Di solito i metalli e le leghe (quali ad esempio l'acciaio o l'alluminio) e il quarzo (a temperatura ambiente e per piccole deformazioni) hanno un comportamento pressoché elastico. I polimeri sintetici, il legno, i tessuti umani e i metalli ad alta temperatura mostrano invece effetti viscoelastici significativi.

Alcuni esempi di materiali viscoelastici includono: polimeri amorfi, polimeri semicristallini, biopolimeri, metalli ad elevate temperature, e materiali bituminosi.

Comportamento reologico dei materiali viscoelastici

Nel caso dei materiali viscoelastici, la viscosità, intesa come costante di proporzionalità tra sforzo e velocità di deformazione, dipende dalla velocità di deformazione e quindi dal tempo.

La viscosità di un materiale viscoelastico è costituita da due contributi:

• la viscosità propriamente detta (in inglese shear viscosity), che è il rapporto tra gli sforzi tangenziali e la velocità di deformazione;
• la viscosità elongazionale (in inglese extensional viscosity o elongational viscosity), che è il rapporto tra gli sforzi normali e la velocità di deformazione.

Alcune proprietà dei materiali viscoelastici sono le seguenti:

• se lo sforzo si mantiene costante, la deformazione cresce con il tempo; tale fenomeno è detto "scorrimento viscoso" (o creep);
• se si mantiene costante la deformazione, lo sforzo decresce con il tempo; tale fenomeno è detto "rilassamento degli sforzi";
• la rigidità del materiale dipende dalla velocità di applicazione del carico;
• se viene applicato un carico ciclico, avviene un'isteresi (un ritardo periodico), con conseguente dissipazione (sotto forma di calore) di energia meccanica; rappresentando il ciclo di carico in un diagramma sforzo-deformazione, la perdita di energia meccanica è pari all'area del percorso che rappresenta il ciclo di carico;^[1] tale perdita di energia meccanica non avviene invece nei materiali elastici, i quali riassumono la loro forma originaria una volta che il carico è rimosso;^[1]
• le onde acustiche subiscono un'attenuazione;^{[non chiaro]}
• la velocità di rimbalzo di un oggetto in seguito ad un urto con un materiale viscoelastico è inferiore alla velocità dell'oggetto prima dell'urto;
• durante il rotolamento di un materiale viscoelastico, gli effetti dell'attrito volvente sono accompagnati da effetti di attrito radente.

Modulo di rilassamento

  Lo stesso argomento in dettaglio: Modulo di rilassamento.

Modulo dinamico

  Lo stesso argomento in dettaglio: Modulo dinamico.

La viscoelasticità viene studiata usando l'analisi meccanica dinamica (DMA), applicando una piccola deformazione oscillatoria e misurando la tensione risultante.

A seconda della natura del materiale, si possono avere i seguenti casi:

• i materiali puramente elastici presentano sforzo e deformazione in fase, per cui la risposta al cambiamento di uno di questi parametri influenza in maniera immediata l'altro parametro;
• nei materiali puramente viscosi, la deformazione è ritardata rispetto allo sforzo di 90°.
• i materiali viscoelastici mostrano un comportamento intermedio tra il comportamento puramente elastico e quello puramente viscoso, mostrando un valore del ritardo della deformazione rispetto allo sforzo tra 0° e 90°.

Il modulo dinamico complesso G può essere usato per rappresentare le relazioni tra lo sforzo e la deformazione in una prova dinamica:

G = G' + iG"

dove:

• ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ;
• ${\displaystyle G'}$  rappresenta il contributo elastico, pari a:

${\displaystyle G'={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\cos \delta }$ 

• G" rappresenta il contributo viscoso, pari a:

${\displaystyle G''={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\sin \delta }$ 

• ${\displaystyle \sigma _{0}}$  è l'ampiezza dello stress;
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$  è l'ampiezza della tensione;
• ${\displaystyle \delta }$  è lo sfasamento tra stress e tensione.

Viscoelasticità lineare e non lineare

La viscoelasticità lineare si ha quando la funzione è un'equazione differenziale ordinaria separabile nei confronti sia della risposta allo scorrimento viscoso sia del carico applicato. Tutti i modelli viscoelastici lineari possono essere rappresentati dall'equazione di Volterra, che lega lo sforzo e la deformazione:

${\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma (t)}{E_{\text{inst,creep}}}}+\int _{0}^{t}K(t-t^{\prime }){\dot {\sigma }}(t^{\prime })dt^{\prime }}$ 

oppure:

${\displaystyle \sigma (t)=E_{\text{inst,relax}}\varepsilon (t)+\int _{0}^{t}F(t-t^{\prime }){\dot {\varepsilon }}(t^{\prime })dt^{\prime }}$ 

dove:

• t è il tempo;
• ${\displaystyle \sigma (t)}$  è lo sforzo;
• ${\displaystyle \varepsilon (t)}$  è la deformazione;
• ${\displaystyle E_{\text{inst,creep}}}$  è il modulo elastico istantaneo misurato nella prova di scorrimento viscoso;
• ${\displaystyle E_{\text{inst,relax}}}$  è il modulo elastico istantaneo misurato nella prova di rilassamento degli sforzi;
• K(t) è la funzione di scorrimento viscoso;
• F(t) è la funzione di rilassamento degli sforzi.

La viscoelasticità lineare di solito è applicabile solo nel caso di piccole deformazioni.

La viscoelasticità non lineare si ha quando la funzione non è separabile; in genere ciò accade quando le deformazioni sono grandi o se il materiale cambia le sue proprietà durante la deformazione.

Equazioni costitutive dei materiali viscoelastici

Modello di Maxwell

 

Analogia meccanica del modello di Maxwell

Il modello di Maxwell descrive bene i materiali viscoelastici che si comportano in modo elastico su intervalli di tempo brevi e in modo viscoso su intervalli di tempo lunghi. In genere il modello di Maxwell viene impiegato per prevedere il comportamento dei materiali viscoelastici liquidi.

Tale modello è rappresentato da un dissipatore viscoso collegato in serie a una molla e l'equazione costitutiva ad esso associata è la seguente:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon _{Total}}{dt}}={\frac {d\varepsilon _{D}}{dt}}+{\frac {d\varepsilon _{S}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}}$ 

in cui:

• σ è lo sforzo;
• ε è la deformazione;
• ${\displaystyle d\varepsilon _{Total}}$  è la deformazione totale;
• ${\displaystyle d\varepsilon _{D}}$  è il contributo viscoso;
• ${\displaystyle d\varepsilon _{S}}$  è il contributo elastico;
• E è il modulo di Young;
• t è il tempo.

Modello di Kelvin-Voigt

 

Analogia meccanica del modello di Kelvin-Voigt.

In genere il modello di Kelvin-Voigt viene impiegato per prevedere il comportamento dei materiali viscoelastici solidi.

Tale modello è rappresentato da un dissipatore viscoso collegato in parallelo a una molla e l'equazione costitutiva ad esso associata è la seguente:

${\displaystyle \sigma (t)=E\varepsilon (t)+\eta {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$ 

Modello lineare standard

 

Analogia meccanica del modello lineare standard.

Il modello lineare standard è rappresentato da una molla collegata in parallelo ad dissipatore viscoso e una molla collegati a loro volta in serie; l'equazione costitutiva ad esso associata è la seguente:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon }{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma }{dt}}+\sigma -E_{1}\varepsilon \right)}{E_{1}+E_{2}}}}$ 

Modello di Maxwell generalizzato

Il modello di Maxwell generalizzato è rappresentato da più elementi disposti in parallelo, ciascuno a sua volta costituito da una molla e da un dissipatore viscoso disposti in serie.

Modello di Kelvin-Voigt generalizzato

Il modello di Kelvin-Voigt generalizzato è rappresentato da più elementi disposti in serie, ciascuno a sua volta costituito da una molla e da un dissipatore viscoso disposti in parallelo.

Il modello di Kelvin-Voigt generalizzato coincide con il modello di Maxwell generalizzato nel caso in cui il numero di elementi tende ad infinito.

Modello di Maxwell-Weichert

 

Analogia meccanica del modello di Maxwell-Weichert.

Il modello di Maxwell-Weichert è rappresentato da una molla collegata in parallelo a più dissipatori viscosi e molle collegate a loro volta in serie.

Rilassamento viscoelastico

  Lo stesso argomento in dettaglio: Rilassamento degli sforzi.

In materiali come i polimeri termoplastici si osserva un rilassamento delle tensioni, detto anche rilassamento viscoelastico, portate a seguito di una certa deformazione imposta, il fenomeno si spiega con lo sgrovigliamento delle catene macromolecolari, sgrovigliamento che necessita di un certo tempo per compiersi.

Note

1. Meyers and Chawla (1999): "Mechanical Behavior of Materials," 98-103.
2. ^ Esempio di file per le dispense di Fisica Tecnica
3. McCrum, Buckley, and Bucknell (2003): "Principles of Polymer Engineering," 117-176.

Bibliografia

• Silbey and Alberty (2001): Physical Chemistry, 857. John Wiley & Sons, Inc.
• Allen and Thomas (1999): "The Structure of Materials," 51.
• Crandal et al. (1999): "An Introduction to the Mechanics of Solids" 348
• J.Lemaitre and J.L. Chaboche (1994)" Mechanics of solid materials"
• (EN) William D. Callister, Material Science and Engineering: An Introduction, 5ª ed., John Wiley & Sons Inc, 1999, pp. 464-467, ISBN 0-471-35243-8.

Voci correlate

• Polimero
• Viscosità
• Reologia
• Fluido alla Boger

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