Risposta libera

La risposta libera nello stato a partire dallo stato iniziale ${\displaystyle x_{0}}$ rappresenta l'evoluzione dello stato di un sistema dinamico nell'ipotesi che nell'intervallo di osservazione ${\displaystyle [t_{0},t[}$ sia nullo l'ingresso u(t), cioè il vettore delle variabili su cui si agisce, a seconda delle caratteristiche di controllabilità del sistema, per modificare l'andamento o traiettoria dello stato (in funzione del tempo t). Nel caso dei sistemi dinamici lineari tempo invarianti, nell'ipotesi che la matrice A sia diagonalizzabile con autovalori reali si è dimostrato che la risposta libera nello stato risulta:

${\displaystyle x_{l}(t)=Pe^{\Lambda (t-t_{0})}P^{-1}x(t_{0})}$

dove le colonne della matrice P sono gli autovettori ${\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}}$ di A relativi agli autovalori distinti ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}}$; ${\displaystyle P^{-1}}$ indica l'inversa di P e ${\displaystyle e^{\Lambda (t-t_{0})}}$ l'esponenziale della matrice degli autovettori. Posto ${\displaystyle t_{0}=0}$ si può scrivere:

${\displaystyle x_{l}(t)=\left({\begin{array}{cccc}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\v_{12}&v_{22}&\cdots &v_{n2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cccc}e^{\lambda _{1}t}&0&\cdots &0\\0&e^{\lambda _{2}t}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{\lambda _{n}t}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\alpha _{1}(0)\\\alpha _{2}(0)\\\vdots \\\alpha _{n}(0)\\\end{array}}\right)}$

dove ${\displaystyle \alpha _{i}(0)}$ è il prodotto della riga i-esima della matrice ${\displaystyle P^{-1}}$ per lo stato iniziale x(0). Sviluppando i prodotti matriciali si ottiene : ${\displaystyle x_{l}(t)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}(0)e^{\lambda _{i}t}v_{i}}$

La funzione ${\displaystyle \alpha _{i}(0)e^{\lambda _{i}t}v_{i}}$ viene detta modo aperiodico i-esimo . Un modo si dice eccitato se compare nella risposta libera nello stato. La risposta libera si può quindi esprimere come la sovrapposizione di più modi. In particolare si nota che nell'ipotesi che lo stato iniziale x(0) coincide con l'autovettore ${\displaystyle \alpha _{i}(0)v_{i}}$ allora si ha :

${\displaystyle P^{-1}x(0)=P^{-1}\alpha _{i}(0)v_{i}=\left({\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\\\alpha _{i}(0)\\0\\\vdots \\0\\\end{array}}\right)}$

e quindi soltanto il modo i-esimo risulta eccitato.Pertanto la traiettoria è la retta individuata dall'autovettore ${\displaystyle v_{i}}$

Nel caso di A matrice 2 per 2 con una coppia di autovalori complessi coniugati si ha per quanto visto nei sistemi dinamici lineari tempo invarianti sempre nell'ipotesi che ${\displaystyle t_{0}=0}$ e che T sia la matrice le cui colonne sono parte reale e parte immaginaria dei 2 autovettori complessi coniugati:

${\displaystyle x_{l}(t)=Te^{\alpha t}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega t&\sin \omega t\\-\sin \omega t&\cos \omega t\end{array}}\right)T^{-1}x(0)}$

Posto ${\displaystyle x(0)=T\left({\begin{array}{c}M\sin \beta \\M\cos \beta \\\end{array}}\right)}$ si ha :

${\displaystyle x_{l}(t)=\left({\begin{array}{cc}v_{11}&v_{21}\\v_{12}&v_{22}\\\end{array}}\right)e^{\alpha t}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega t&\sin \omega t\\-\sin \omega t&\cos \omega t\\\end{array}}\right)T^{-1}T\left({\begin{array}{c}M\sin \beta \\M\cos \beta \\\end{array}}\right)}$

${\displaystyle x_{l}(t)=e^{\alpha t}\left({\begin{array}{cc}v_{1}\cos \omega t-v_{2}\sin \omega t&v_{1}\sin \omega t+v_{2}\cos \omega t\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M\sin \beta \\M\cos \beta \\\end{array}}\right)}$

Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {x}}_{l}(t)=Me^{\alpha t}\sin(\omega t+\beta )v_{1}+Me^{\alpha t}\cos(\omega t+\beta )v_{2}}

Tale termine viene detto modo pseudoperiodico di ampiezza ${\displaystyle Me^{\alpha t}}$ e fase ${\displaystyle \beta }$. In tal caso quindi la traiettoria ha la forma di una spirale esponenziale sul piano individuato dagli autovettori ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$. Questa traiettoria partendo da x(0) converge verso l'origine per ${\displaystyle \alpha <0}$, diverge per ${\displaystyle \alpha >0}$ o degenera in curva chiusa per ${\displaystyle \alpha =0}$