Momento angolare

Il momento angolare polare o momento della quantità di moto rispetto ad una determinata origine (detta anche polo) è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione (rispetto alla stessa origine) e il vettore quantità di moto:

Momento angolare

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}}$

Il modulo di ${\displaystyle {\vec {L}}}$ è quindi definito da:

${\displaystyle {L}={{r}{mv}}\sin {\theta }\,}$

La direzione di ${\displaystyle {\vec {L}}}$ è perpendicolare al piano definito da ${\displaystyle {\vec {p}}}$ e da ${\displaystyle {\vec {r}}}$; il verso è quello di un osservatore che vede ruotare ${\displaystyle {\vec {p}}}$ in senso antiorario. La grandezza ${\displaystyle {r}\sin {\theta }\,}$, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace ${\displaystyle {\vec {p}}}$ è detto braccio di ${\displaystyle {\vec {p}}}$.

Se ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ed ${\displaystyle {\vec {r}}}$ sono tra loro perpendicolari il momento angolare è massimo e questo avviene quando ${\displaystyle \sin \theta =1}$. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se ${\displaystyle {\vec {p}}}$ è parallelo ad ${\displaystyle {\vec {r}}}$, in tal caso infatti ${\displaystyle \sin \theta =0}$.

Si definisce momento angolare assiale il momento angolare proiettato sul un asse passante per il polo.

Il momento angolare nel SI si misura in ${\displaystyle \left[{\frac {Kg\cdot m^{2}}{s}}\right]}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni cardinali.

Per quanto riguarda la dinamica dei sistemi di punti materiali, il momento angolare è una caratteristica fondamentale del moto. Infatti se un punto materiale P si muove con quantità di moto: ${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$, il momento angolare del punto rispetto ad un polo O è dato da:

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}(t)\times {\vec {p}}(t)}$

se il polo O è in moto con velocità ${\displaystyle {\vec {v}}_{O}}$, allora il momento angolare varia nel tempo:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\vec {r}}(t)\times {\vec {p}}(t)\right)={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}}$

dove ${\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}}$ rappresenta la velocità relativa del punto P rispetto alla velocità di O, mentre ${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}}$ per il secondo principio della dinamica rappresenta la forza totale risultante. Allora da questa equazione si ottiene la seconda equazione cardinale dei sistemi, infatti dalla:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=({\vec {v}}-{\vec {v}}_{O})\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {v}}\times {\vec {p}}-{\vec {v}}_{O}\times {\vec {p}}+{\vec {M}}_{O}}$

si ottiene:

${\displaystyle {\vec {M}}_{O}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}+{\vec {v}}_{O}\times {\vec {p}}}$

dove ${\displaystyle M_{O}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}$ è il momento meccanico polare della forza ${\displaystyle {\vec {F}}}$.

Nel caso il polo sia fermo (cosa che si può sempre fare scegliendo un sistema di riferimento opportuno), allora ci si riconduce alla più familiare:

${\displaystyle {\vec {M}}_{O}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}}$

Conservazione del momento angolare ed esempi

Il momento angolare è importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che rigurdano variabili angolari.

Inoltre resta fondamentale perché nei sistemi isolati, cioè non soggetti a forze esterne, vale la legge di conservazione del momento angolare. La conservazione del momento angolare è fondamentale nello studio dei moti in campi di forze centrali, poiché è legata alla costanza della velocità areolare, come nello studio dei moti dei pianeti e dalle leggi di Keplero, ed ancora allo studio del moto del pendolo.

Voci correlate

• Momento di una forza
• Momento angolare orbitale

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