Repunit

Nella matematica ricreativa, un repunit è un numero, come 11, 111 o 1111, che contiene solo la cifra 1. Il termine viene dall'inglese repeated unit, "unità ripetuta", ed è stato coniato nel 1964 da Albert H. Beiler nel suo libro Recreations in the Theory of Numbers^[1]. Un primo repunit è un repunit che è anche un numero primo.

Definizione

I repunit sono definiti matematicamente come:

${\displaystyle R_{n}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{per }}n\geq 1.}$ 

Pertanto il numero R_n è formato da n ripetizioni della cifra 1. La sequenza dei repunit con 1, 11, 111, 1111,... (sequenza A002275 dell'OEIS).

Primi repunit

  Lo stesso argomento in dettaglio: Repunit (fattori).

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei fattori primi di tali numeri.

Si può facilmente dimostrare che se n è divisibile per a, allora R_n è divisibile per R_a. Ad esempio 9 è divisibile per 3, e R₉ è divisibile per R₃: 111111111 = 111·1001001. Ne consegue che condizione necessaria perché R_n sia primo è che n sia a sua volta un numero primo^[2].

La sequenza dei primi repunit attualmente noti è A004022 dell'OEIS, mentre la più compatta sequenza delle loro lunghezze è la A004023 dell'OEIS. R₄₉₀₈₁ (scoperto nel 1999 da Harvey Dubner^[3]), R₈₆₄₅₃ (scoperto nell'ottobre 2000 da Lew Baxter) e R₁₀₉₂₉₇ (scoperto anch'esso da Harvey Dubner nel marzo del 2007) sono attualmente considerati primi probabili, ovvero hanno sino ad ora superato molteplici test di primalità pur mancando ancora una reale dimostrazione del fatto che siano effettivamente primi.

È stato congetturato che, benché estremamente rari, esistano infiniti numeri primi repunit^[4].

Generalizzazioni

I matematici professionisti solitamente considerano i repunit un concetto arbitrario, sostenendo che dipendono dall'uso del sistema numerico decimale. L'arbitrarietà può però essere risolta generalizzando l'idea ai repunit in base b :

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={b^{n}-1 \over b-1}\qquad {\mbox{per }}n\geq 1.}$ 

In verità, i repunit in base 2 sono i rispettabili numeri di Mersenne M_n = 2ⁿ − 1. Il progetto Cunningham cerca di raccogliere le fattorializzazioni (fra l'altro) dei repunit in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

I primi repunit sono un sottoinsieme dei primi permutabili, cioè primi che rimangono tali dopo qualunque permutazione delle loro cifre.

Voci correlate

• Numero a cifra ripetuta (repdigit)
• Tabella dei fattori
• 11111 Repunit - asteroide scoperto nel 1995

Note

1. ^ Jet Propulsion Laboratory
2. ^ Non si tratta ovviamente di condizione sufficiente, come peraltro facilmente verificabile con un immediato controesempio: R₃ = 111 = 3·37.
3. ^ H. Dubner, "Repunit R49081 is a probable prime," Math. Comp., 71:238 (2002) 833--835
4. ^ http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit

Collegamenti esterni

• I repunit su MathWorld
• Le tavole principali del progetto Cunningham
• I repunit sulle Prime Pages di Chris Caldwell
• I repunit ed i loro fattori primi su World!Of Numbers