Teorema della mediana

In geometria piana, il teorema della mediana è un teorema che lega la lunghezza della mediana in un triangolo alle lunghezze dei tre lati. È attribuito ad Apollonio.^[1] La sua dimostrazione si può ricondurre alla legge del coseno o teorema di Carnot.

Enunciato

In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato.

In altri termini, con riferimento al triangolo OAB vale l'identità:

${\displaystyle \scriptstyle 2{\overline {OM}}^{2}={\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}-{{\overline {AB}}^{2} \over 2}}$ , dove M è il punto medio di AB.

Prima dimostrazione

 

Ponendo:

${\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {\scriptstyle OA}}={\vec {a}}\quad {\overrightarrow {\scriptstyle OB}}={\vec {b}}\quad {\overrightarrow {\scriptstyle OM}}={\vec {m}}.}$ 

Si ha:

${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}={\vec {m}}-{\vec {u}},\quad {\vec {b}}={\vec {m}}+{\vec {u}}}$ 

Elevando al quadrato scalare i membri delle ultime uguaglianze si ha:

${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}^{2}=({\vec {m}}-{\vec {u}})^{2}\quad {\vec {b}}^{2}=({\vec {m}}+{\vec {u}})^{2}}$ 

sviluppando i calcoli si ottiene:

${\displaystyle \scriptstyle {\vec {m}}^{2}-2{\vec {m}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}^{2}={\vec {a}}^{2}}$ 

${\displaystyle \scriptstyle {\vec {m}}^{2}+2{\vec {m}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}^{2}={\vec {b}}^{2}}$ 

successivamente sommando membro a membro:

${\displaystyle \scriptstyle 2m^{2}+2u^{2}=a^{2}+b^{2}}$ 

e infine:

${\displaystyle \scriptstyle 2m^{2}=a^{2}+b^{2}-{(2u)^{2} \over 2}}$ .

Seconda dimostrazione

Ponendo:

${\displaystyle \scriptstyle O{\widehat {M}}A=\theta ,\quad O{\widehat {M}}B=\pi -\theta }$ 

applicando, ora, il teorema del coseno ai triangoli OMA e OMB, si ha:

${\displaystyle \scriptstyle b^{2}=m^{2}+u^{2}-2mu\cos \theta }$ 

${\displaystyle \scriptstyle a^{2}=m^{2}+u^{2}-2mu\cos(\pi -\theta )=m^{2}+u^{2}+2mu\cos \theta }$ 

Sommando quindi membro a membro le ultime uguaglianze si perviene all'identità richiesta.

Note

1. ^ Apollonio di Perga, su imati.cnr.it. URL consultato il 7 ottobre 2012.

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