Analisi di Fourier

Fourier, nei primi anni dell'ottocento, riuscì a dimostrare che una qualunque funzione continua poteva essere vista coma una somma di infinite "opportune" funzioni sinusoidali (seno e coseno). Grazie a tale scoperta si è potuto scomporre funzioni complicate in una serie di funzioni, che ne rendono l'analisi più semplice.

A rigore la funzione da scomporre in serie di Fourier dovrebbe essere periodica, indicando con "T" il valore del periodo. In realtà basta indicare con "T" il campo di studio della funzione.

La serie di Fourier di una funzione può essere espressa in diverse forme (rettangolare, complessa e polare), matematicamente equivalenti; la scelta di una particolare forma è fatta per mettere in evidenza determinate caratteristiche della funzione di partenza, oppure per convenienza di calcolo.

Forma rettangolare

Una funzione f(x) si approssima con la serie di Fourier in forma rettangolare nel seguente modo:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}cos\left({\frac {2\pi nx}{T}}\right)+b_{n}sin\left({\frac {2\pi nx}{T}}\right)\right]}$ 

I termini ${\displaystyle a_{n}}$  e ${\displaystyle b_{n}}$  sono chiamati coefficienti di Fourier e si calcolano così:

${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)cos\left({\frac {2\pi nx}{T}}\right)dx}$ 

${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)sin\left({\frac {2\pi nx}{T}}\right)dx}$ 

Forma complessa

La serie di Fourier in forma complessa di una funzione f(x) è:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\gamma _{n}e^{\frac {j2\pi nx}{T}}}$ 
in cui
${\displaystyle \gamma _{n}\in \mathbb {C} }$ 
${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$ 

I coefficienti ${\displaystyle \gamma _{n}}$  sono calcolati tramite la relazione:

${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(x)e^{\frac {-j2\pi nx}{T}}dx}$ 

Forma polare

Un'altra forma in cui è possibile esprimere la serie di Fourier è la polare:

${\displaystyle f(x)=A_{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}cos\left({\frac {2\pi nx}{T}}+\theta _{k}\right)}$ 
I coefficienti ${\displaystyle A_{0}}$ , ${\displaystyle A_{n}}$  e ${\displaystyle \theta _{k}}$  possono essere definiti partendo dai coefficienti ${\displaystyle \gamma _{n}}$  della forma complessa:
${\displaystyle A_{0}=\gamma _{0}\,\!}$ 
${\displaystyle A_{n}=\left|\gamma _{n}\right|+\left|\gamma _{-}n\right|\,\!}$ 
${\displaystyle \theta _{k}=\angle \gamma _{n}+\angle \gamma _{-}n\,\!}$ 

Voci correlate

• matematica
• funzione (matematica)
• Trasformata di Fourier