Successione di Cauchy

In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente piccola ${\displaystyle \varepsilon >0}$, da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad ${\displaystyle \varepsilon }$ . Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere Augustin-Louis Cauchy.

Definizione

Si definisce successione di Cauchy una successione ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$  a valori in uno spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$  tale che per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste ${\displaystyle N(\varepsilon )=N}$  tale che per tutti gli ${\displaystyle m,n\geq N}$  si verifica:^[1]

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\varepsilon }$ 

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio ${\displaystyle X}$  tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in ${\displaystyle X}$  è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\to x}$ . Esiste allora un indice ${\displaystyle N}$  tale per cui:

${\displaystyle d(x_{n},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}\qquad \forall n>N}$ 

Considerando allora ${\displaystyle n}$  e ${\displaystyle m}$  maggiori di ${\displaystyle N}$  si ha di conseguenza:

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }$ 

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere né che, se converge, l'elemento al quale converge appartenga allo spazio.

Se tutte le successioni fondamentali dello spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$  hanno un limite in ${\displaystyle X}$ , allora ${\displaystyle (X,d)}$  viene chiamato spazio metrico completo.^[2] Uno spazio normato completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece spazio di Banach.

Ogni successione di Cauchy è limitata, e ogni sottosuccessione di una successione di Cauchy che tende a un limite ${\displaystyle L}$  tende a ${\displaystyle L}$ .

Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy

Si dice diametro di un certo insieme ${\displaystyle E}$  in uno spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$  l'estremo superiore:

${\displaystyle \sup _{p,q\in E}\,d(p,q)}$ 

e si indica con:

${\displaystyle {\mbox{diam }}E}$ 

in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy

Sia ${\displaystyle \{x_{n}\}}$  una successione di Cauchy in ${\displaystyle (X,d)}$ . Allora ${\displaystyle \{x_{n}\}}$  è limitata in ${\displaystyle X}$ .

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste ${\displaystyle N(\varepsilon )=N}$  tale che:

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\varepsilon \qquad \forall \,m,n\geq N}$ 

e dunque esiste ${\displaystyle N_{*}}$  che soddisfa:

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<1\qquad \forall \,m,n\geq N_{*}}$ 

da cui:

${\displaystyle d(x_{n},x_{N_{*}})<1\qquad \forall n\geq N_{*}}$ 

Sia:

${\displaystyle r=\max\{1,d(x_{1},x_{N_{*}}),d(x_{2},x_{N_{*}}),\dots ,d(x_{N_{*}-1},x_{N_{*}})\}}$ 

Allora:

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{N*})+d(x_{m},x_{N*})\leq r+r=2r\qquad \forall n,m}$ 

Perciò ${\displaystyle \{x_{n}\}}$  è limitata.

Teorema dell'implicazione dalla convergenza

Sia ${\displaystyle \{p_{n}\}}$  convergente. Allora ${\displaystyle \{p_{n}\}}$  è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  si può trovare ${\displaystyle N(\varepsilon )=N}$  tale che esiste ${\displaystyle p}$  che soddisfa:

${\displaystyle d(p_{n},p)<\varepsilon \qquad \forall n\geq N}$ 

Dunque esiste un indice di successione ${\displaystyle m\geq n}$  per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

${\displaystyle d(p_{n},p_{m})\leq d(p_{m},p)+d(p,p_{n})<2\,\varepsilon }$ 

Per cui il teorema è dimostrato.

Teorema della convergenza in spazi metrici

Sia ${\displaystyle (X,d)}$ , con ${\displaystyle X}$  compatto e ${\displaystyle \{p_{n}\}}$  una successione di Cauchy in ${\displaystyle X}$ . Allora ${\displaystyle \{p_{n}\}}$  converge a qualche punto di ${\displaystyle X}$ .

Infatti, sia, come da enunciato, ${\displaystyle \{p_{n}\}}$  una successione di Cauchy. Per ogni ${\displaystyle N}$  numero naturale, si costruisca ${\displaystyle E_{N}}$  nel seguente modo:

${\displaystyle E_{N}\,:=\,\{p_{N},p_{N+1},p_{N+2},\dots \}}$ 

${\displaystyle {\overline {E}}_{N}\subset X\qquad \forall \,N}$ 

dove ${\displaystyle {\overline {E}}}$  è la chiusura di ${\displaystyle E}$  (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\!{\mbox{diam }}{\overline {E}}_{N}=0}$ 

Inoltre:

${\displaystyle E_{N}\supset E_{N+1}}$ 

che implica:

${\displaystyle {\overline {E}}_{N}\supset {\overline {E}}_{N+1}}$ 

e quindi esiste un unico ${\displaystyle p}$  tale che ${\displaystyle p\in X}$  per ogni ${\displaystyle N}$ . A questo punto, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste ${\displaystyle {\tilde {N}}}$  tale per cui:

${\displaystyle {\mbox{diam}}\,{\overline {E}}_{N}<\varepsilon \qquad \forall \,N\geq {\tilde {N}}}$ 

da cui:

${\displaystyle d(p,q)<\varepsilon \qquad \forall \,q\in {\overline {E}}_{N}}$ 

che implica:

${\displaystyle d(p,p_{n})<\varepsilon \qquad \forall n\geq {\tilde {N}}}$ 

il che significa ${\displaystyle p_{n}\to p}$ , ovvero la successione converge.

Teorema della completezza di R^k

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$  ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}\}}$  a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ , sia come per il teorema precedente:

${\displaystyle E_{N}\,:=\,\{x_{N},x_{N+1},x_{N+2},\dots \}}$ 

Allora è possibile costruire per qualche ${\displaystyle N}$  un ${\displaystyle E_{N}}$  tale che ${\displaystyle {\mbox{diam}}\,E_{n}<1}$ . Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme ${\displaystyle \{x_{1},...,x_{N-1}\}\,}$ , e dall'altra c'è ${\displaystyle E_{N}}$ . Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$  ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ .

Numeri razionali e numeri reali

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

${\displaystyle x_{n}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$ 

dove ${\displaystyle F_{n}}$  sono i numeri della successione di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica ${\displaystyle x^{2}=x+1}$ , ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.

Note

1. ^ Reed, Simon, Pag. 5
2. ^ Reed, Simon, Pag. 6

Bibliografia

• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, (1953), McGraw-Hill, Inc. ISBN 88-386-0647-1

Voci correlate

• Convergenza
• Criterio di convergenza di Cauchy
• Distanza (matematica)
• Limite di una successione
• Sottosuccessione
• Spazio metrico completo
• Successione (matematica)

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