Algoritmo di Dijkstra

Tempo di esecuzione

Il tempo di esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra può essere espresso in funzione di $|V|$ e $|E|$ ossia, rispettivamente, il numero di vertici e degli archi appartenenti al grafo sul quale viene eseguito. L'algoritmo utilizza una coda di priorità, implementata attraverso un Min-Heap, Max-Heap o un albero Red-Black.

In questo caso dunque il tempo di esecuzione può essere espresso nella forma:

$O{\bigl (}|E|+|V^{2}|{\bigr )}$

Assumendo che il grafo sia generico vale l'approssimazione $|E|=O(|V^{2}|)$ e dunque il tempo di esecuzione può essere riscritto come:

$O{\bigl (}|E|+|V^{2}|{\bigr )}=O{\bigl (}|V^{2}|{\bigr )}$

Possiamo quindi concludere affermando che il tempo di esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra è proporzionale al quadrato del numero dei vertici appartenenti al grafo sul quale viene eseguito.

Esempio

Alla base di questi problemi c'è lo scopo di trovare il percorso minimo (più corto, più veloce, più economico…) tra due punti, uno di partenza e uno di arrivo. Con il metodo che vedremo è possibile ottenere non solo il percorso minimo tra un punto di partenza e uno di arrivo ma l'albero dei cammini minimi, cioè tutti i percorsi minimi tra un punto di partenza e tutti gli altri punti della rete. Come per praticamente tutti i problemi riguardanti le reti la cosa migliore è fare una schematizzazione della situazione in cui ci troviamo per risolvere l'esercizio più agevolmente ed avere sempre a disposizione i dati necessari. Una buona schematizzazione per i problemi di percorso minimo deve includere tutti i possibili collegamenti tra i nodi (ed i relativi costi) e deve essere fissato un nodo di partenza.

Consideriamo un problema in cui si vuole calcolare il percorso minimo tra casa e il posto di lavoro. Schematizziamo tutti i possibili percorsi ed il relativo tempo di percorrenza (supponendo di voler calcolare il percorso più breve in fatto di tempo di percorrenza). I nodi A, B, C, D, E indicano le cittadine per cui è possibile passare. Ecco una schematizzazione della rete:

Dobbiamo ora assegnare ad ogni nodo un valore, che chiameremo “potenziale”, seguendo alcune regole:

Ogni nodo ha, all'inizio potenziale $+\infty$ (che indichiamo con “inf”);
Il nodo di partenza (in questo caso “casa”) ha potenziale 0 (ovvero dista zero da se stesso);
Ogni volta si sceglie il nodo con potenziale minore e lo si rende definitivo (colorando il potenziale di rosso) e si aggiornano i nodi adiacenti;
Il potenziale di un nodo è dato dalla somma del potenziale del nodo precedente + il costo del collegamento;
Non si aggiornano i potenziali dei nodi resi definitivi;
I potenziali definitivi indicano la distanza di quel nodo da quello di partenza;
Quando si aggiorna il potenziale di un nodo si lascia quello minore (essendo un problema di percorso minimo).

Vediamo in pratica come si risolve questo esercizio. Questa è la rete in cui sono indicati anche i potenziali:

Seguendo le regole appena fissate consideriamo il nodo con potenziale minore (“casa”) e lo rendiamo definitivo (colorandolo di rosso) ed aggiorniamo tutti i nodi adiacenti sommando l'attuale valore del potenziale (ovvero zero) al costo del percorso. Aggiorniamo i potenziali perché avevamo, nel caso di A, potenziale infinito mentre ora abbiamo potenziale 2. Ricordando che il potenziale minore è sempre preferibile. Vediamo come si è aggiornata la rete:

Bisogna ora considerare il nodo non definitivo (ovvero quelli scritti in nero) con potenziale minore (il nodo A). Lo si rende definitivo e si aggiornano i potenziali dei nodi adiacenti B e C. Indichiamo con una freccia da dove proviene il potenziale dei nodi resi definitivi.

Il nodo con potenziale minore ora è C. lo si rende definitivo e si aggiornano quelli adiacenti.

Va notato come il nodo D abbia ora potenziale 6 in quanto 6 è minore di 8 e quindi lo si aggiorna. Se avessimo avuto un valore maggiore di quello che già c'era lo avremmo lasciato invariato. Rendiamo definitivo il nodo D e aggiorniamo il grafico:

Il nodo con potenziale minore restante è B e lo si rende definitivo aggiornando di conseguenza il grafico:

Restano da considerare il nodo E e da aggiornare “ufficio”.

Seguendo all'indietro le frecce si ottiene il percorso minimo da casa ad ufficio che misura (come indicato dal potenziale) “10”.

Bisogna notare come questo algoritmo ci dia non solo la distanza minima tra il punto di partenza e quello di arrivo ma la distanza minima di tutti i nodi da quello di partenza, da cui si può realizzare l'albero dei cammini minimi semplicemente eliminando gli archi non utilizzati da nessun cammino.

Note

Bibliografia

Michael T. Goodrich, Roberto Tamassia, Strutture dati e algoritmi in Java, Bologna, Zanichelli Editore, 2007, pp. 556-561, ISBN 978-88-08-07037-1.

Voci correlate

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