Ipergrafo

In matematica, un ipergrafo è un grafo in cui un arco può essere collegato a un qualunque numero di vertici. Formalmente, un ipergrafo ${\displaystyle H}$ è una coppia ${\displaystyle H=(X,E)}$ dove ${\displaystyle X}$ è un insieme di elementi chiamati nodi oppure vertici, e ${\displaystyle E}$ è un insieme formato da sottoinsiemi non vuoti ${\displaystyle X}$ chiamati iperarchi oppure archi. Pertanto, ${\displaystyle E}$ è un sottoinsieme di ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}$, dove ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ è l' insieme potenza di ${\displaystyle X}$.

Un esempio di ipergrafo con ${\displaystyle X=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5},v_{6},v_{7}\}}$ e ${\displaystyle E=\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}=}$ ${\displaystyle \{\{v_{1},v_{2},v_{3}\},}$ ${\displaystyle \{v_{2},v_{3}\},}$ ${\displaystyle \{v_{3},v_{5},v_{6}\},}$ ${\displaystyle \{v_{4}\}\}}$.

Mentre in un grafo gli archi sono formati da una coppia di nodi, gli iperarchi sono insieme di nodi di grandezza arbitraria, e pertanto possono contenere qualsivoglia numero intero positivo di nodi. Tuttavia, è spesso desiderabile il caso di ipergrafi dove tutti gli iperarchi hanno la stessa cardinalità; un ipergrafo k-uniforme è un ipergrafo in cui tutti gli iperarchi hanno grandezza k. (In altre parole, un ipergrafo di questo genere è una collezione di insiemi, in cui ogni insieme è un iperarco connesso a k nodi.). Ne segue che un ipergrafo 2-uniforme è un grafo, un ipergrafo 3-uniforme è una collezione di triple non ordinata, e così via.

Un ipergrafo è anche chiamato insieme sistema o anche famiglia di insiemi presa da insieme universo X. La differenza tra un insieme sistema e un ipergrafo è una domanda che spesso sorge spontanea. La teoria degli ipergrafi tende ad occuparsi di questioni simili a quelle della teoria dei grafi, quali connettività e colorability, mentre la teoria degli insiemi tende ad occuparsi di domande di ambito non grafo-teorico, quali Sperner theory.

Esistono diverse definizioni; a volte gli archi non devono essere vuoti, e a volte archi multipli, con lo stesso insieme di noti, sono ammessi.

Gli ipergrafi possono essere visti come strutture incidenti. In particulare, esiste un "grafo incidente" biparito or "Levi graph" corrispondente a ogni ipergrafo, al contrario, la maggior parte, ma non tutti, dei grafi bipartiti possono essere considerati come grafi di incidenza, o ipergrafi.

Gli ipergrafi hanno tanti altri nomi. In geometria computazionale, un ipergrafo può a volte essere definito come range space, e gli iperarchi vengono chiamati ranges.^[1] Nella teoria dei giochi cooperativi, gli ipergrafi vengono anche chiamati giochi semplici (voting games); questa nozione viene applicata per risolvere problemi in ambito della teoria della scelta sociale. In alcuni articoli, gli archi vengono chiamati anche iperlinks o connettori.^[2]

Tra i casi particolari di vi sono : k-uniform ones, come precedentemente discusso; clutters, dove nessun arco appare come sottoinsieme di un altro arco; e complesso simpliciale astratto, che contiene tutti i sottoinsiemi di ogni arco.

La collezione di ipergrafi è una category, avente un ipergrafo omomorfo come morphisms.

Terminologia

Dato che i collegamenti degli ipergrafi possono avere una cardinalità qualsiasi, esistono diverse nozioni al concetto di sottografo, chiamato sottoipergrafo, ipergrafo parziale e sezione di ipergrafo.

Sia ${\displaystyle H=(X,E)}$  l'ipergrafo che consiste dei vertici

${\displaystyle X=\lbrace x_{i}|i\in I_{v}\rbrace ,}$ 

e avente come insieme arco

${\displaystyle E=\lbrace e_{i}|i\in I_{e},e_{i}\subseteq X\rbrace ,}$ 

dove ${\displaystyle I_{v}}$  e ${\displaystyle I_{e}}$  sono gli insiemi indici dei vertici e degli archi, rispettivamente. Un sottoipergrafo è un ipergrafo con alcuni vertici rimossi. Formalmente, il sottoipergrafo ${\displaystyle H_{A}}$  indotto dal sottoinsieme ${\displaystyle A}$  di ${\displaystyle X}$  è definito come

${\displaystyle H_{A}=\left(A,\lbrace e_{i}\cap A|e_{i}\cap A\neq \varnothing \rbrace \right).}$ 

Una estensione di un sottoipergrafo è un ipergrafo dove ogni iperarco di ${\displaystyle H}$  che è parzialmente contenuto nel sottoipergrafo ${\displaystyle H_{A}}$  è completamente contenuto dall'estensione ${\displaystyle Ex(H_{A})}$ . Formalmente, ${\displaystyle Ex(H_{A})=(A\cup A',E')}$  con ${\displaystyle A'=\cup _{e\in E}e\setminus A}$  e ${\displaystyle E'=\lbrace e\in E|e\subseteq (A\cup A')\rbrace }$ .

L' ipergrafo parziale è un ipergrafo con alcuni archi rimossi. Dato un sottoinsieme ${\displaystyle J\subset I_{e}}$  del set di indici dell'arco, l'ipergrafo parziale generato da ${\displaystyle J}$  è l'ipergrafo

${\displaystyle \left(X,\lbrace e_{i}|i\in J\rbrace \right).}$ 

Dato un sottoinsieme ${\displaystyle A\subseteq X}$ , la sezione dell'ipergrafo è l'ipergrafo parziale.

${\displaystyle H\times A=\left(A,\lbrace e_{i}|i\in I_{e},e_{i}\subseteq A\rbrace \right).}$ 

Il duale ${\displaystyle H^{*}}$  di ${\displaystyle H}$  è un ipergrafo i cui vertici e archi sono scambiati, tale che i vertici sono dati da ${\displaystyle \lbrace e_{i}\rbrace }$  e i cui archi sono dati da ${\displaystyle \lbrace X_{m}\rbrace }$  dove

${\displaystyle X_{m}=\lbrace e_{i}|x_{m}\in e_{i}\rbrace .}$ 

Quando una nozione di uguaglianza è propriamente definite, come quella seguenta, l'operazione di prendere il duale di un ipergrafo è un'involuzione, i.e.,

${\displaystyle \left(H^{*}\right)^{*}=H.}$ 

Un grafo connesso G con lo stesso insieme vertice di un ipergrafo connesso H è un grafo ospite per H se ogni iperarco di H induce a un sottografo connesso in G. Per un ipergrafo disconnesso H, G è un grafo ospite se esiste una funzione biettiva tra le componenti connesse di G e di H, tale che ogni componente connessa G' di G è un ospite del corrispondente H'.

A ipergrafo bipartito se e solo se i suoi vertici possono essere divisi in due classi, U e V, in modo tale che ogni iperarco di cardinalità almeno 2 contenga almeno un vertice da entrambe le classi.

La sezione-2 (o cricca, grafo di rappresentazione, grafo primale, grafo di Gaifman) di un ipergrafo è il grafo con gli stessi vertici dell'ipergrafo, e con gli archi tra tutte le coppie di vertici contenute nello stesso iperarco.

Modello di un grafo bipartito

Un ipergrafo H può essere rappresentato da un grafo bipartito BG come segue: gli insiemi X e E sono le partizioni di BG, e (x₁, e₁) sono connessi con un arco se e solo se il vertice x₁ è contenuto nell'arco e₁ in H. Contrariamente, ogni grafo bipartito con parti fissate e alcun nodo sconnesso nella seconda parte, rappresenta l'idea di ipergrafo appena descritta. Questo esempio di grafo bipartito viene anche chiamato grafo di incidenza.

Aciclicità

In contrasto con ordinari grafi sconnessi per i quali esiste una singola nozione naturale di cicli e grafi aciclici, esistono multiple definizioni non-equivalenti di aciclicità per ipergrafi che è in contrasto con l'ordinaria aciclicità dei grafi, nel caso particolare di grafi ordinari.

Una prima definizione di aciclicità per ipergrafi viene data da Claude Berge:^[3] un ipergrafo è Berge-aciclico se il suo grafo di incidenza (il grafo bipartito sopra definito) è aciclico. Tale definizione è molto restrittiva: per esempio, se un ipergrafo ha una coppia ${\displaystyle v\neq v'}$  di vertici e alcune coppie ${\displaystyle f\neq f'}$  di iperarchi tali che ${\displaystyle v,v'\in f}$  and ${\displaystyle v,v'\in f'}$ , allora esso è Berge-ciclico. La Berge-cyclicità può ovviamente essere indagata in tempo lineare esplorando un grafo di incidenza.

Possiamo utilizzare una definizione più debole di aciclicità di ipergrafo,^[4] in seguito chiamata α-aciclicità. Tale nozione di aciclicità è equivalente a quella di un ipergrafo conforme (ogni cricca del grafo originario è coperta da alcuni iperarchi) e avente grafo originario cordale; esso è anche equivalente alla riducibilità di un grafo vuoto tramite GYO algorithm^[5][6] (anche noto come algoritmo di Graham), un processo iterativo confluente che rimuove gli iperarchi utilizzando una definizione generica di ears. Entrando nel dominio della teoria delle basi di dati, è noto che un schema di database gode di alcune desiderabili proprietà se l'ipergrafo sottostante è α-aciclico.^[7] Inoltre, α-aciclicità è anche legata all'espressività del frammento custodito di logica del primo ordine.

Si può provare in tempo lineare se un ipergrafo sia α-aciclico.^[8]

Bisogna però far notareche l'α-aciclicità ha la seguente proprietà contro intuitiva: aggiungere iperarchi a un ipergrafo α-ciclico può renderlo α-aciclico (per esempio, aggiungere un iperarco contenente tutti i vertici dell'ipergrafo lo renderà sempre α-aciclico). Tale limite viene in parte motivato, Ronald Fagin^[9] definì le nozioni più forti di β-aciclicità e γ-aciclicità. Possiamo definire la β-aciclicità come il requisito affinché tutti i sottoipergrafi di un ipergrafo siano α-aciclici, che è equivalente^[9] a una precedente definizione di Graham.^[6] La nozione di γ-aciclicità è una condizione più restrittiva, che è equivalente a diverse proprietà desiderabili di uno schema di una base di dati ed è legato ai diagrammi di Bachman. Sia β-aciclicità che γ-aciclicità possono essere esplorate in tempo polinomiale.

Queste quattro nozioni di aciclicità possono essere confrontate: la Berge-aciclicità implica γ-aciclicità che a sua volta implica β-aciclicità che implica α-aciclicità. Tuttavia nessuna delle precedenti implicazioni può essere invertita, e pertanto sono considerate aciclitià differenti.^[9]

Isomorfismi e uguaglianza

Un ipergrafo omomorfo è una associazione dall'insieme dei vertici di un ipergrafo a un altro, tale che ogni arco è associato a un altro arco.

Un ipergrafo ${\displaystyle H=(X,E)}$  è isomorfo a un altro ipergrafo ${\displaystyle G=(Y,F)}$ , scritto ${\displaystyle H\simeq G}$ , se esiste una biezione

${\displaystyle \phi :X\to Y}$ 

e una permutazione ${\displaystyle \pi }$  di ${\displaystyle I}$  tale che

${\displaystyle \phi (e_{i})=f_{\pi (i)}}$ 

La biezione ${\displaystyle \phi }$  è in seguito chiamato isomorfismo dei grafi. Notare che

${\displaystyle H\simeq G}$  se e solo se${\displaystyle H^{*}\simeq G^{*}}$ .

Quando gli archi di un ipergrafo sono esplicitamente marcati, si presenta la nozione di ismomorfismo forte. Si dice che ${\displaystyle H}$  è fortemente isomorfo a ${\displaystyle G}$  se la permutazione è l'identità. Scritto: ${\displaystyle H\cong G}$ . Naturalmente un grafo fortemente isomorfo è anche un grafo isomorfio, ma non viceversa.

Quando i vertici di un ipergrafo sono esplicitamente marcati, si presenta la nozione di equivalenza, e anche di uguaglianza. Si dice che ${\displaystyle H}$  è equivalente a ${\displaystyle G}$ , e si scrive ${\displaystyle H\equiv G}$  se l'isomorfismo ${\displaystyle \phi }$  ha

${\displaystyle \phi (x_{n})=y_{n}}$ 

e

${\displaystyle \phi (e_{i})=f_{\pi (i)}}$ 

Si noti che

${\displaystyle H\equiv G}$  se e solo se ${\displaystyle H^{*}\cong G^{*}}$ 

Se, in aggiunta, la permutazione ${\displaystyle \pi }$  è l'identità, si dice che ${\displaystyle H}$  eguagli ${\displaystyle G}$ , e si scrive ${\displaystyle H=G}$ . Si noti che, con tale definizione di uguaglianza, i grafi sono auto-duali

${\displaystyle \left(H^{*}\right)^{*}=H}$ 

Un automorfismo su un ipergrafo è un isomorfismo da un insieme di vertici a un altro, che è una rimarcatura di vertici. L'insieme di automorfismi di un ipergrafo H (= (X, E)) è un gruppo, chiamato gruppo di automorfismi di un ipergrafo, e scritto Aut(H).

Esempi

Si consideri l'ipergrafo ${\displaystyle H}$  con archi

${\displaystyle H=\lbrace e_{1}=\lbrace a,b\rbrace ,e_{2}=\lbrace b,c\rbrace ,e_{3}=\lbrace c,d\rbrace ,e_{4}=\lbrace d,a\rbrace ,e_{5}=\lbrace b,d\rbrace ,e_{6}=\lbrace a,c\rbrace \rbrace }$ 

e

${\displaystyle G=\lbrace f_{1}=\lbrace \alpha ,\beta \rbrace ,f_{2}=\lbrace \beta ,\gamma \rbrace ,f_{3}=\lbrace \gamma ,\delta \rbrace ,f_{4}=\lbrace \delta ,\alpha \rbrace ,f_{5}=\lbrace \alpha ,\gamma \rbrace ,f_{6}=\lbrace \beta ,\delta \rbrace \rbrace }$ 

Chiaramente ${\displaystyle H}$  e ${\displaystyle G}$  sono isomorfi (con ${\displaystyle \phi (a)=\alpha }$ , etc.), ma non sono fortemente isomorfi. Quindi, per esempio, in ${\displaystyle H}$ , il vertice ${\displaystyle a}$  incontra gli archi 1, 4 e 6, così che

${\displaystyle e_{1}\cap e_{4}\cap e_{6}=\lbrace a\rbrace }$ 

Nel grafo ${\displaystyle G}$ , non esiste alcun vertice che incontri gli archi 1, 4 e 6:

${\displaystyle f_{1}\cap f_{4}\cap f_{6}=\varnothing }$ 

In questo esempio, ${\displaystyle H}$  e ${\displaystyle G}$  sono equivalenti, ${\displaystyle H\equiv G}$ , e i duali sono fortemente isomorfi ${\displaystyle H^{*}\cong G^{*}}$ .

Ipergrafi Simmetrici

Il rango ${\displaystyle r(H)}$  di un hypergraph ${\displaystyle H}$  è la cardinalità massima che di un arco nell'ipergrafo. Se tutti gli archi hanno stessa cardinalità k, l'ipergrafo viene detto uniforme o anche k-uniforme, o anche chiamato k-ipergrafo. Un grafo si tratta di un ipergrafo 2-uniforme.

Il grado d(v) di un vertice v è il numero di archi in cui è contenuto. H è k-regulare se ogni vertice ha grado k.

Il duale di un ipergrafo uniforme è regolare, e viceversa

Due vertici x e y di H sono chiamati simmetrici se esiste un automorfismo tale che ${\displaystyle \phi (x)=y}$ . Due archi ${\displaystyle e_{i}}$  e ${\displaystyle e_{j}}$  sono detti simmetrici se esiste un automorfismo tale che ${\displaystyle \phi (e_{i})=e_{j}}$ .

Un ipergrafo è detto vertice-transitivo (o vertice-simmetrico) se tutti i suoi vertici sono simmetrici. Ne segue che un ipergrafo si dice arco-transitivo se tutti gli archi sono simmetrici. Se un ipergrafo è sia arco-simmetrico che vertice-simmetrico, allora l'ipergrafo si dice transitivo.

Data la dualità di un ipergrafo, lo studio della arco-transitività è collegato allo studio della vertice-transitività.

Note

1. ^ David Haussler e Emo Welzl, ε-nets and simplex range queries, in Discrete and Computational Geometry, vol. 2, n. 2, 1987, pp. 127–151, DOI:10.1007/BF02187876, MR 884223..
2. ^ Judea Pearl, in HEURISTICS Intelligent Search Strategies for Computer Problem Solving, Addison Wesley (1984), p. 25.
3. ^ Claude Berge, Graphs and Hypergraphs
4. ^ C. Beeri, R. Fagin, D. Maier, M. Yannakakis, On the Desirability of Acyclic Database Schemes
5. ^ C. T. Yu and M. Z. Özsoyoğlu. An algorithm for tree-query membership of a distributed query. In Proc. IEEE COMPSAC, pages 306-312, 1979
6. M. H. Graham. On the universal relation. Technical Report, University of Toronto, Toronto, Ontario, Canada, 1979
7. ^ Serge Abiteboul, Richard B. Hull, Victor Vianu, Foundations of Databases
8. ^ R. E. Tarjan, M. Yannakakis. Simple linear-time algorithms to test chordality of graphs, test acyclicity of hypergraphs, and selectively reduce acyclic hypergraphs. SIAM J. on Computing, 13(3):566-579, 1984.
9. Ronald Fagin, Degrees of Acyclicity for Hypergraphs and Relational Database Schemes

Bibliografia

• Claude Berge, "Hypergraphs: Combinatorics of finite sets". North-Holland, 1989.
• Claude Berge, Dijen Ray-Chaudhuri, "Hypergraph Seminar, Ohio State University 1972", Lecture Notes in Mathematics 411 Springer-Verlag
• (EN) Hypergraph, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• Alain Bretto, "Hypergraph Theory: an Introduction", Springer, 2013.
• Vitaly I. Voloshin. "Coloring Mixed Hypergraphs: Theory, Algorithms and Applications". Fields Institute Monographs, American Mathematical Society, 2002.
• Vitaly I. Voloshin. "Introduction to Graph and Hypergraph Theory". Nova Science Publishers, Inc., 2009.
• (EN) Hypergraph, in PlanetMath.

Voci correlate

• Grafo
• Greedoide
• Incidence structure
• Matroide
• Multigraph
• P system
• Sparse matrix-vector multiplication

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