Legge di Hopkinson

La legge di Hopkinson regola le relazioni che riguardano i circuiti magnetici; relazioni che formalmente sono simili a quelle che regolano i circuiti elettrici.

Le formule da cui partiamo sono quelle dei campi magnetici nel vuoto e nei materiali e cioè:

• Seconda equazione di Maxwell:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$

e dalla sua forma integrale cioè dal flusso di Gauss per il campo magnetico:

${\displaystyle \Phi _{S}({\vec {B}})=\int _{S}{\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\;\mathrm {d} S=0}$

che ci dice che il flusso di ${\displaystyle {\vec {B}}}$ è sempre nullo qualsiasi sia la superficie S.

• Legge di Ampere in forma integrale del vettore campo magnetico nella materia:

${\displaystyle \oint _{l}{\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=N\ I}$

che ci dice che la circuitazione di ${\displaystyle {\vec {H}}}$ lungo qualsiasi linea chiusa l che concatena N volte il circuito percorso da corrente I è proprio uguale al prodotto NI.

Un circuito magnetico è composto da materiale ferromagnetico con una parte avvolta da N avvolgimenti di filo conduttore percorso da corrente I stazionaria o almeno quasi-stazionaria. Se la sezione S del circuito è costante allora il flusso si riduce alla semplice relazione:

${\displaystyle \Phi =B\cdot S=cost}$

Nei limiti in cui per materiale ferromagnetico vale la linearità tra ${\displaystyle {\vec {H}}}$ e ${\displaystyle {\vec {B}}}$:

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}$

possiamo dare la definizione di forza magnetomotrice come:

${\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=N\cdot I=\oint {\frac {\vec {B}}{\mu }}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}}$

Se la sezione S è di molto minore del quadrato della lunghezza l del circuito, il campo ${\displaystyle {\vec {B}}}$ all'interno del materiale è con buona approssimazione parallelo al circuito stesso. Perciò è possibile svolgere il prodotto scalare:

${\displaystyle \oint {\frac {\vec {B}}{\mu }}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=\oint {\frac {B}{\mu }}\;\mathrm {d} l=\Phi \ \oint {\frac {\mathrm {d} l}{\mu S}}=F_{m}}$

dove dl è parallelo chiaramente a B, ${\displaystyle \Phi }$ è il flusso e se S è una sezione costante lungo tutto il circuito, la quantità:

${\displaystyle \oint {\frac {\mathrm {d} l}{\mu S}}={\frac {l}{\mu S}}=R}$

viene chiamata riluttanza del circuito magnetico.

La legge di Hopkinson allora ha formalmente la stessa forma della Legge di Ohm:

${\displaystyle F=R\cdot \Phi }$.

Voci correlate

• Campo magnetico
• Corrente elettrica
• Magnetizzazione nella materia
• Materiale ferromagnetico

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