Asse di un segmento

In geometria euclidea l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio. È definito il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza dai due estremi del segmento.^[1]

Asse ${\displaystyle r}$ del segmento ${\displaystyle AB}$

Si può dimostrare mediante il teorema di Pitagora che un qualsiasi punto ${\displaystyle X}$ sulla retta ${\displaystyle r}$ è equidistante sia da ${\displaystyle A}$ che da ${\displaystyle B}$, formalmente ${\displaystyle {\overline {XA}}={\overline {XB}}}$.^[2]

Dimostrazione con il teorema di Pitagora

Si hanno le ipotesi:

1. ${\displaystyle {\overline {AM}}={\overline {BM}}}$;
2. il segmento e l'asse sono ortogonali.$${\displaystyle {\overline {XA}}^{2}={\overline {AM}}^{2}+{\overline {XM}}^{2}={\overline {BM}}^{2}+{\overline {XM}}^{2}={\overline {XB}}^{2}}$$$${\displaystyle {\overline {AX}}={\overline {XB}}\qquad \forall X\in r}$$

Costruzione con righello e compasso

 

Costruzione con righello e compasso con ${\displaystyle r={\overline {AB}}}$ 

Per costruire l'asse del segmento ${\displaystyle AB}$  con righello e compasso si disegnano due cerchi di raggio uguale, purché sia ${\displaystyle r>{\frac {1}{2}}{\overline {AB}}}$ , e i cui centri sono gli estremi del segmento.

L'asse è determinato dai punti di intersezione delle due circonferenze. La retta viene determinata senza conoscere il punto medio ${\displaystyle M}$ , perciò si può ottenere tramite intersezione tra l'asse e il segmento.^[3]

Metodo analitico

Siano sul piano cartesiano ${\displaystyle A=(x_{A},y_{A})}$  e ${\displaystyle B=(x_{B},y_{B})}$  le coordinate dei due estremi, allora il punto medio è ${\displaystyle M=(x_{M},y_{M})={\biggl (}{\frac {x_{A}+x_{B}}{2}},{\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}{\biggr )}}$  e il segmento appartiene alla retta di coefficiente angolare ${\displaystyle m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{a}}}}$ .

L'asse ${\displaystyle r}$  è per definizione perpendicolare ad ${\displaystyle AB}$ , perciò ha coefficiente angolare ${\displaystyle m_{r}=-{\frac {1}{m_{AB}}}}$ ^[4] e deve passare per ${\displaystyle M}$ , da cui si ricava l'intercetta ${\displaystyle q_{r}=y_{M}-m_{r}\cdot x_{M}}$ . Perciò l'equazione dell'asse è:^[5]$${\displaystyle y=m_{r}\cdot x+q_{r}}$$ 

Proprietà dell'asse di un segmento

In un triangolo, tutti gli assi dei lati si incontrano nel circocentro O, che coincide con il centro della circonferenza circoscritta circoscritta al triangolo e sono sempre su di essi anche i centri J dei cerchi di Johnson. Il circocentro è interno al triangolo acutangolo, sul punto medio dell'ipotenusa del triangolo rettangolo e esterno all'ottusangolo.

Gli assi dei segmenti che individuano i lati di un poligono regolare si incontrano in un punto interno al poligono che è il centro della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta.^[1]

Note

1. Giuseppe Carichino, Definizione di asse di un segmento con formule, proprietà ed equazione, su YouMath, 1º novembre 2014. URL consultato il 15 maggio 2025.
2. ^ Asse di un segmento, su www.andreaminini.org. URL consultato il 15 maggio 2025.
3. ^ Semplici costruzioni geometriche con riga e compasso, su www.lorenzoroi.net. URL consultato il 15 maggio 2025.
4. ^ Redazione di YouMath, Coefficiente angolare di rette parallele o perpendicolari, su www.youmath.it. URL consultato il 16 maggio 2025 (archiviato dall'url originale l'11 dicembre 2023).
5. ^ Equazione dell'asse del segmento: formula, metodo ed esempi, su YouMath. URL consultato il 17 giugno 2025.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Bisection, su MathWorld, Wolfram Research.  

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