Corrispondenza biunivoca

In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ è una relazione binaria tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, tale che ad ogni elemento di ${\displaystyle X}$ corrisponda uno ed un solo elemento di ${\displaystyle Y}$, e viceversa ad ogni elemento di ${\displaystyle Y}$ corrisponda uno ed un solo elemento di ${\displaystyle X}$. In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

Un esempio di funzione biiettiva

Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni. Si dice che una funzione

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

è biiettiva se per ogni elemento ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle Y}$ vi è uno e un solo elemento ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle X}$ tale che ${\displaystyle f(x)=y}$.

Una tale funzione è detta anche biiezione, bigezione, funzione bigettiva o funzione biunivoca.

Proprietà

Iniettività e suriettività

Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva^[1], cioè se soddisfa le seguenti condizioni:

1. ${\displaystyle a_{1}\neq a_{2}}$  implica ${\displaystyle f(a_{1})\neq f(a_{2})}$  per ogni ${\displaystyle a_{1}}$ , ${\displaystyle a_{2}}$  scelti in ${\displaystyle X}$ ;
2. ${\displaystyle \forall y\in Y\,\exists x\in X}$  tale che ${\displaystyle f(x)=y}$ , cioè ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio.

Invertibilità

• Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  è biiettiva se e solo se è invertibile, cioè se e solo se esiste una funzione ${\displaystyle g\colon Y\to X}$  tale che la funzione composta ${\displaystyle fg}$  venga a coincidere con la funzione identità su ${\displaystyle Y}$  e che la funzione ${\displaystyle gf}$  coincida con l'identità su ${\displaystyle X}$ . La funzione ${\displaystyle g}$  se esiste è unica, viene chiamata funzione inversa di ${\displaystyle f}$  e denotata con ${\displaystyle f^{-1}}$ .

Composizione

• La composizione ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$  di due funzioni biiettive ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  e ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$  è ancora biiettiva.

Corrispondenza biunivoca per insiemi finiti

• Se ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  sono insiemi finiti, si può costruire una biiezione tra ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  se e solo se essi hanno la stessa cardinalità. In tale caso, inoltre, ogni funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  iniettiva o suriettiva è anche biiettiva.^[2]

Esempi

• La funzione identità su un insieme ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$ , è biiettiva ed è inversa di sé stessa.
• Una permutazione di un insieme finito ${\displaystyle X}$  è biiettiva per definizione. Ad esempio, se ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$  e si considera la permutazione ${\displaystyle \sigma =(123)}$ , secondo la notazione ciclica, la sua inversa è ${\displaystyle \sigma ^{-1}=(132)}$ .
• Un'applicazione lineare ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$  definita da ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$ , dove ${\displaystyle A}$  è una matrice quadrata ${\displaystyle n\times n}$ , è biiettiva se e solo se la matrice ${\displaystyle A}$  è invertibile. In tal caso l'applicazione inversa è definita da ${\displaystyle f^{-1}(\mathbf {x} )=A^{-1}\mathbf {x} }$ . Come caso particolare, se ${\displaystyle n=1}$ , la funzione ${\displaystyle f(x)=ax}$  è biiettiva se e solo se ${\displaystyle a\neq 0}$ .
• La funzione ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$  definita da ${\displaystyle f(x)=2x}$  non è biiettiva, perché non è suriettiva. Infatti ad esempio ${\displaystyle 3}$  non appartiene alla usa immagine. La sua restrizione al codominio ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$  è biiettiva, e la sua inversa è ${\displaystyle f^{-1}(x)=x/2}$ .
• La funzione ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to [0,+\infty )}$  definita da ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  non è biiettiva perché non è iniettiva. Infatti ad esempio ${\displaystyle f(-1)=f(1)=1}$ . La restrizione al dominio ${\displaystyle [0,+\infty )}$  è biiettiva e la sua funzione inversa è la radice quadrata, ${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt {x}}}$ . La stessa restrizione rende biiettiva ogni funzione potenza con esponente pari. Al contrario, tutte le funzioni potenza con esponente dispari definite su ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  sono biiettive e la loro inversa è la rispettiva radice.
• La funzione esponenziale ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  definita da ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$  non è biiettiva, perché non è suriettiva. Infatti, nessuna immagine è negativa o nulla. La restrizione con codominio ${\displaystyle (0,+\infty )}$  è biiettiva e la sua inversa è il logaritmo naturale.
• La funzione seno ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  definita da ${\displaystyle f(x)=\sin x}$  non è biiettiva, perché non è né iniettiva né suriettiva. Non è iniettiva perché periodica, e non è suriettiva perché ${\displaystyle |\sin x|\leq 1}$ . La restrizione al dominio ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$  è iniettiva e la restrizione al codominio ${\displaystyle [-1,1]}$  è suriettiva. Perciò, la funzione ${\displaystyle f\colon [-\pi /2,\pi /2]\to [-1,1]}$  è biiettiva. La sua inversa è la funzione arcoseno. Considerazioni analoghe valgono per le altre funzioni goniometriche.

Note

1. ^ C. Kosniowski, p. 2.
2. ^ Conte, Picco Botta, Romagnoli, p. 12.

Bibliografia

• Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
• Conte, Picco Botta, Romagnoli, Algebra, Levrotto & Bella, 1986, ISBN 8882181464.

Voci correlate

• Corrispondenza biunivoca (geometria descrittiva)
• Funzione inversa
• Funzione iniettiva
• Funzione suriettiva
• Isomorfismo
• Automorfismo
• Omeomorfismo
• Diffeomorfismo
• Permutazione
• Cardinalità

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Collegamenti esterni

• corrispondenza biunivoca, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) one-to-one correspondence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Bijection, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Corrispondenza biunivoca, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

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