Coefficiente multinomiale

Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Siano ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{r}}$ dei numeri interi positivi con ${\displaystyle k_{1}+\ldots +k_{r}=n}$. Il coefficiente multinomiale è definito come

${\displaystyle {n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}:={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}k_{i}!}},}$

dove ${\displaystyle \prod _{i=1}^{r}}$ è il simbolo della produttoria. Il coefficiente multinomiale è sempre un numero naturale.^[1]

Teorema multinomiale

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}},}$ 

ossia

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{r}x_{i}{\bigg )}^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {x_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}},}$ 

dove ${\displaystyle \sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}}$  indica la sommatoria di tutte le possibili ${\displaystyle r}$ -ple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a ${\displaystyle n}$ .

In particolare, per ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{r}=1}$  si ottiene:

${\displaystyle r^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{k_{i}!}}}.}$ 

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=n}n!{\frac {\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }}{\mathbf {k} !}},}$ 

con le norme unitarie:

${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{r}k_{i}=\left\|\mathbf {k} \right\|_{1},}$ 

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{r}x_{i}=\left\|\mathbf {x} \right\|_{1},}$ 

e

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathbf {k} }=(x_{1}^{k_{1}},x_{2}^{k_{2}},\ldots ,x_{r}^{k_{r}})\in \mathbb {R} ^{r}.}$ 

Applicazioni

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi ${\displaystyle n}$  oggetti in ${\displaystyle r}$  scatole distinte, tali che ${\displaystyle k_{1}}$  oggetti stiano nella prima scatola, ${\displaystyle k_{2}}$  nella seconda, e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di ${\displaystyle n}$  oggetti, di cui ${\displaystyle k_{1}}$  uguali tra loro, ${\displaystyle k_{2}}$  uguali tra loro e così via, dove i valori ${\displaystyle k_{i}}$  sono numeri naturali uguali o maggiori a ${\displaystyle 1}$  che soddisfano quindi ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n}$ .

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale, una variabile casuale discreta, generalizzazione della variabile casuale binomiale. Notiamo ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{r})}$  una variabile casuale che segue la legge multinomiale di parametri ${\displaystyle \left((p_{1},\ldots ,p_{r}),n\right)}$ , dove i valori ${\displaystyle p_{i}}$  sono dei numeri positivi tali che ${\displaystyle p_{1}+\ldots +p_{r}=1}$ . Immaginamo di lanciare ${\displaystyle n}$  volte un dado a ${\displaystyle r}$  facce distinte, di cui la ${\displaystyle i}$ -esima faccia ha probabilità ${\displaystyle p_{i}}$  di apparire, allora ${\displaystyle X_{i}}$  è il numero di volte che la ${\displaystyle i}$ -esima faccia è apparsa (per ogni ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,r\}}$ ). In particolare ${\displaystyle X}$  prende i valori ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{r})}$  con probabilità

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X=(k_{1},\ldots ,k_{r})\right)={n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}.}$ 

Esempio

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?

${\displaystyle {32 \choose 10,10,10,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2753294408504640.}$ 

Note

1. ^ Martin Aigner, Combinatorial Theory, collana Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol 234, Springer, 1979.

Voci correlate

• Calcolo combinatorio
• Coefficiente binomiale
• Probabilità
• Teorema binomiale
• Variabile casuale multinomiale

Collegamenti esterni

• (EN) multinomial coefficient, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Multinomial Coefficient, su MathWorld, Wolfram Research.  

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica