Dimensione frattale

In geometria frattale la dimensione frattale, spesso indicata con D è una quantità statistica che dà un'indicazione di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio. La definizione di dimensione frattale non è unica, infatti vi sono diverse specifiche definizioni. Le più importanti sono la dimensione di Hausdorff, la dimensione di Minkowski-Bouligand, la dimensione di Rényi e la dimensione packing. In pratica viene spesso usato il conteggio del numero di box (box counting) per la sua semplice implementazione.

Fig.(1) Definizione di dimensione, partendo da un oggetto unitario.^[1]

Definizioni

 

Fig.(2) Costruzione del triangolo di Sierpinski

Esistono due metodi per generare una struttura frattale. Il primo è ingrandire un oggetto unitario (vedi figura 1) e il secondo è costruire la sotto sequenza di divisione della struttura originale (vedi figura 2). In questo articolo si seguirà la seconda procedura.

Se si prende un oggetto unitario con dimensione lineare pari a 1 nella dimensione euclidea ${\displaystyle D}$ , e riduciamo la sua dimensione lineare di un fattore ${\displaystyle 1/l}$  in ogni direzione spaziale, esso prende un numero pari a ${\displaystyle N=l^{D}}$  di oggetti simili, per ricostruire l'oggetto originale (vedi figura 1).

La dimensione frattale è quindi definita da:

${\displaystyle D={\frac {\log N(l)}{\log l}}}$ 

(dove il logaritmo può essere di qualsiasi base) è ancora uguale alla sua dimensione topologica ed euclidea.^[1] Applicando l'equazione precedente alla struttura frattale, si può ottenere la dimensione frattale di tale struttura:

${\displaystyle D=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}}$ 

dove ${\displaystyle N}$ (ε) indica la similarità della struttura lineare ε che serve per ricoprire l'intera struttura.

Ad esempio, la dimensione frattale del triangolo di Sierpinski rappresentato in figura 2, è dato da:

${\displaystyle D=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\log 3^{k}}{\log 2^{k}}}={\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585.}$ 

Note

1. Dimensione frattale Archiviato il 13 maggio 2008 in Internet Archive.

Voci correlate

• Dimensione di Hausdorff
• Dimensione di Minkowski-Bouligand
• Lista di frattali per dimensione di Hausdorff

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Collegamenti esterni

• (EN) fractal dimension, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) IUPAC Gold Book, "fractal dimension", su goldbook.iupac.org.
• TruSoft's Benoit - Programma per l'analisi frattale, su trusoft-international.com.
• Stimatore per dimensione frattale in Java, su stevec.org.

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