Divisibilità di binomi notevoli

In algebra, la divisibilità di binomi notevoli è una conseguenza del teorema del resto e consente di determinare la divisibilità di un binomio del tipo: ${\displaystyle (a^{n}\pm b^{n})}$ (dove a, b sono numeri reali diversi da zero ed ${\displaystyle n\in N_{0}}$) per un binomio ${\displaystyle (a\pm b)}$.

In particolare si hanno differenti casi se l'esponente n è pari oppure dispari e se il segno è ${\displaystyle +}$ o ${\displaystyle -}$.

I vari casi

La seguente tabella ci dice se un binomio notevole del tipo ${\displaystyle (a^{n}\pm b^{n})}$  può essere diviso da un binomio ${\displaystyle (a\pm b)}$  e inoltre ci dice il resto dell'eventuale divisione.

Dividendo	Divisore	${\displaystyle n}$	Divisibilità	Resto
${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$	${\displaystyle a-b}$	pari	sì	${\displaystyle R=a^{n}-a^{n}=0}$
		dispari
${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$	${\displaystyle a+b}$	pari	sì	${\displaystyle R=(-a)^{n}-a^{n}=0}$
		dispari	no	${\displaystyle R=(-a)^{n}-a^{n}=-2a^{n}}$
${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$	${\displaystyle a+b}$	pari	no	${\displaystyle R=(-a)^{n}+a^{n}=2a^{n}}$
		dispari	sì	${\displaystyle R=(-a)^{n}+a^{n}=0}$
${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$	${\displaystyle a-b}$	pari	no	${\displaystyle R=a^{n}+a^{n}=2a^{n}}$
		dispari

Voci correlate

• Prodotto notevole#Somma e differenza tra potenze dello stesso grado

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