Notazione a frecce concatenate di Conway

La notazione a frecce concatenate di Conway è una notazione sviluppata dal matematico John Horton Conway per esprimere numeri estremamente grandi attraverso l'utilizzo di una sequenza di numeri interi positivi separati di frecce orientata verso destra, quale ad esempio ${\displaystyle 2\to 3\to 4\to 5\to 6}$.^[1][2] La definizione della notazione è ricorsiva, e alla fine la catena si risolve in un'esponenziazione iterata del numero più a sinistra.

Definizione e panorameni

La notazione a frecce concatenate di Conway è ricorsivamente definita nella seguente maniera:

• Ogni intero positivo è una catena di lunghezza ${\displaystyle 1}$ .
• Una catena di lunghezza ${\displaystyle n}$ , seguita da una freccia rivolta a destra → e un intero positivo, formano assieme una catena di lunghezza ${\displaystyle n+1}$ .

Il valore espresso da una catena si ricava applicando le regole che seguono:^[3] Siano ${\displaystyle a,b,c}$  numeri interi positivi e sia ${\displaystyle X}$  una catena di lunghezza ${\displaystyle n}$ , allora

1. Una catena vuota (o una catena di lunghezza ${\displaystyle 0}$ ) è uguale a ${\displaystyle 1}$ .
2. La catena ${\displaystyle a}$  rappresenta il numero ${\displaystyle a}$ .
3. La catena ${\displaystyle a\rightarrow b}$  rappresenta il numero ${\displaystyle a^{b}}$ .
4. La catena ${\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c}$  rappresenta - in notazione a frecce di Knuth - il numero ${\displaystyle a\uparrow ^{c}b}$ 
5. Le catene ${\displaystyle X\rightarrow 1}$  and ${\displaystyle X\rightarrow 1\rightarrow a}$  rappresentano lo stesso numero della catena ${\displaystyle X}$ 
6. Ossia, la catena ${\displaystyle X\rightarrow (a+1)\rightarrow (b+1)}$  rappresenta lo stesso numero della catena ${\displaystyle X\rightarrow (X\rightarrow a\rightarrow (b+1))\rightarrow b}$ .

Se due catene rappresentano lo stesso intero, esse sono dette equivalenti.

Proprietà

Siano ${\displaystyle X,Y}$  due sottocatene di lunghezza maggiore o uguale a 1.

1. Una catena è una potenza perfetta del suo primo numero
2. Quindi, ${\displaystyle 1\to Y}$  è uguale a ${\displaystyle 1}$ 
3. ${\displaystyle X\to 1\to Y}$  è equivalente a ${\displaystyle X}$ 
4. ${\displaystyle 2\to 2\to Y}$  è uguale a ${\displaystyle 4}$ 
5. ${\displaystyle X\to 2\to 2}$  è equivalente a ${\displaystyle X\to (X)}$ 

Interpretazione

Nella lettura di un numero espresso con questa notazione è importante considerare la catena come un insieme unico, e non come un'interata applicazione di un operatore binario. Se infatti catene come (3 + 4 + 5 + 6 + 7) si possono spezzare un frammenti, ad esempio (3 + 4) + 5 + (6 + 7)), senza il numero da essere rappresentato cambi, ciò non vale per la notazione a frecce concatenate di Conway.

Ad esempio:

• ${\displaystyle 2\rightarrow 3\rightarrow 2=2\uparrow \uparrow 3=2^{2^{2}}=2^{4}=16}$ 
• ${\displaystyle 2\rightarrow (3\rightarrow 2)=2^{3^{2}}=2^{9}=512}$ 
• ${\displaystyle (2\rightarrow 3)\rightarrow 2=(2^{3})^{2}=8^{2}=64}$ 

Esempi

Di seguito alcuni esempi con indicate le regole sopra menzionate:

${\displaystyle n}$ 

${\displaystyle =n}$  (per la regola 2)

${\displaystyle p\to q}$ 

${\displaystyle =p^{q}}$  (per la regola 3)

quindi, ${\displaystyle 3\to 4=3^{4}=81}$ 

${\displaystyle 4\to 3\to 2}$ 

${\displaystyle =4\uparrow \uparrow 3}$  (per la regola 4)

${\displaystyle =4\uparrow (4\uparrow 4)}$ 

${\displaystyle =4\uparrow 256}$ 

${\displaystyle =4^{256}}$ 

${\displaystyle =13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073}$  ${\displaystyle 546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084096}$ 

${\displaystyle \approx 1,34*10^{154}}$ 

${\displaystyle 2\to 2\to a}$ 

${\displaystyle =2[\uparrow ^{a}]2}$  (per la regola 4)

${\displaystyle =4}$  (come si evince dalla notazione a frecce di Knuth)

${\displaystyle 2\to 4\to 3}$ 

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow \uparrow 4}$  (per la regola 4)

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2}$ 

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 4}$ 

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2}$ 

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2\uparrow 4}$ 

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 2\uparrow 16}$ 

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 65536}$ 

${\displaystyle ={^{65536}2}}$ 

${\displaystyle \approx \exp _{10}^{65533}(4,29508)}$ 

(tetrazione)

${\displaystyle 2\to 3\to 2\to 2}$ 

${\displaystyle =2\to 3\to (2\to 3)\to 1}$  (per la regola 6)

${\displaystyle =2\to 3\to 8\to 1}$  (per la regola 3)

${\displaystyle =2\to 3\to 8}$  (per la regola 5)

${\displaystyle =2\to (2\to 2\to 8)\to 7}$  (per la regola 6)

${\displaystyle =2\to 4\to 7}$  (per la regola 6)

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$  (per la regola 4)

= maggiore del numero precedente

${\displaystyle 3\to 2\to 2\to 2}$ 

${\displaystyle =3\to 2\to (3\to 2)\to 1}$  (per la regola 6)

${\displaystyle =3\to 2\to 9\to 1}$  (per la regola 3)

${\displaystyle =3\to 2\to 9}$  (per la regola 5)

${\displaystyle =3\to 3\to 8}$  (per la regola 6)

${\displaystyle =3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}$  (per la regola 4)

= molto molto maggiore del numero precedente

Esempi di metodo

I casi più semplici di catene con quattro termini contenenti interi di valore maggiore o uguale a 2 sono:

• ${\displaystyle a\to b\to 2\to 2}$ 
  ${\displaystyle =a\to b\to 2\to (1+1)}$ 
  ${\displaystyle =a\to b\to (a\to b)\to 1}$ 
  ${\displaystyle =a\to b\to a^{b}}$ 
  ${\displaystyle =a[a^{b}+2]b}$ 

dove le parentesi quadre indicano un'iperoperazione.

• ${\displaystyle a\to b\to 3\to 2}$ 
  ${\displaystyle =a\to b\to 3\to (1+1)}$ 
  ${\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to (a\to b)\to 1)\to 1}$ 
  ${\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to a^{b})}$ 
  ${\displaystyle =a[a\to b\to 2\to 2+2]b}$ 
• ${\displaystyle a\to b\to 4\to 2}$ 
  ${\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to (a\to b\to a^{b}))}$ 
  ${\displaystyle =a[a\to b\to 3\to 2+2]b}$ 

Come si può vedere, se per ogni catena ${\displaystyle X}$  si assume ${\displaystyle f(p)=X\to p}$  allora ${\displaystyle X\to p\to 2=f^{p}(1)}$ .

Applicando questo a ${\displaystyle X=a\to b}$ , allora ${\displaystyle f(p)=a[p+2]b}$  e ${\displaystyle a\to b\to p\to 2=a[a\to b\to (p-1)\to 2+2]b=f^{p}(1)}$ 

Quindi, ad esempio, ${\displaystyle 10\to 6\to 3\to 2=10[10[1000002]6+2]6}$ .

Proseguendo:

• ${\displaystyle a\to b\to 2\to 3}$ 
  ${\displaystyle =a\to b\to 2\to (2+1)}$ 
  ${\displaystyle =a\to b\to (a\to b)\to 2}$ 
  ${\displaystyle =a\to b\to a^{b}\to 2}$ 
  ${\displaystyle =f^{a^{b}}(1)}$ 

Anche in questo si può generalizza, infatti, scrivendo ${\displaystyle g_{q}(p)=X\to p\to q}$  sia ${\displaystyle X\to p\to q+1=g_{q}^{p}(1)}$ , ossia, ${\displaystyle g_{q+1}(p)=g_{q}^{p}(1)}$ . Nel caso soprastante, ${\displaystyle g_{2}(p)=a\to b\to p\to 2=f^{p}(1)}$  e ${\displaystyle g_{3}(p)=g_{2}^{p}(1)}$ , così che ${\displaystyle a\to b\to 2\to 3=g_{3}(2)=g_{2}^{2}(1)=g_{2}(g_{2}(1))=f^{f(1)}(1)=f^{a^{b}}(1)}$ 

Funzione di Ackermann

Utilizzando la notazione a frecce concatenate di Conway, la funzione di Ackermann può essere espressa nel modo seguente:^[4]

${\displaystyle A(m,n)=(2\to (n+3)\to (m-2))-3}$  per ${\displaystyle m\geq 3}$  (Since ${\displaystyle A(m,n)=2[m](n+3)-3}$  in iperoperazione)

quindi

${\displaystyle 2\to n\to m=A(m+2,n-3)+3}$  per ${\displaystyle n>2}$ 

Numero di Graham

Il numero di Graham non può essere espresso utilizzando la notazione a frecce concatenate di Conway, tuttavia esso può essere indicato come segue:^[4]

${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}$ 

Per dimostrarlo, si definisca innanzitutto la funzione intermedia ${\displaystyle f(n)=3\rightarrow 3\rightarrow n={\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow } 3\\{\text{n frecce}}\end{matrix}}}$ , che può essere usata per definire il numero di Graham come ${\displaystyle G=f^{64}(4)}$ .

Applicanto le regole numero 2 e numero 4 a ritroso si ha questa semplificazione:

${\displaystyle f^{64}(1)}$ 

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 1))\cdots ))}$  (con 64 ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$ )

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)\rightarrow 1)\cdots )\rightarrow 1)\rightarrow 1}$ 

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2;}$ 

$${\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 livelli}}}$$ 

${\displaystyle f^{64}(4)=G;}$ 

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 4))\cdots ))}$  (con 64 ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$ )

$${\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 livelli}}}$$ 

${\displaystyle f^{64}(27)}$ 

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27))\cdots ))}$  (con 64 ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$ )

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)))\cdots ))}$  (con 65 ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$ )

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}$  (calcolando come sopra).

${\displaystyle =f^{65}(1)}$ 

$${\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{65 livelli}}}$$ 

Poiché f è strettamente crescente,

${\displaystyle f^{64}(1)<f^{64}(4)<f^{64}(27)}$ 

che è la disuguaglianza data.

Peraltro, con la notazione a frecce contatenate è molto facile rappresentare numeri molto più grandi dello stesso numero di Graham, ad esempio ${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3}$ .

${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3}$ 

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\,}$ 

${\displaystyle =f^{3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2}(1)}$ 

${\displaystyle =f^{f^{27}(1)}(1)}$ 

$${\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\uparrow 3\end{matrix}}\right\}\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3\\3\uparrow 3\end{matrix}}\right\}\ 27}$$  che risulta essere molto maggiore del numero di Graham poiché il numero ${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2}$  ${\displaystyle =f^{27}(1)}$  è molto maggiore di ${\displaystyle 65}$ .

Funzione CG

Conway e Guy hanno creato una semplice funzione con un singolo argomento che esprime l'intera notazione in maniera ancora più semplice, definita come:

${\displaystyle cg(n)=\underbrace {n\rightarrow n\rightarrow n\rightarrow \dots \rightarrow n\rightarrow n\rightarrow n} _{n}}$ 

cosicché, in sequenza si ha:

${\displaystyle cg(1)=1}$ 

${\displaystyle cg(2)=2\to 2=2^{2}=4}$ 

${\displaystyle cg(3)=3\to 3\to 3=3\uparrow \uparrow \uparrow 3}$ 

${\displaystyle cg(4)=4\to 4\to 4\to 4}$ 

${\displaystyle cg(5)=5\to 5\to 5\to 5\to 5}$ 

...

Come si vede, la funzione cresce molto rapidamente.

Note

1. ^ Soluzioni e Note (PDF), in Rudi Mathematici, n. 107, Dicembre 2007, pp. 28. URL consultato il 27 agosto 2025.
2. ^ John H. Conway e Richard K. Guy, The Book of Numbers, Springer Science & Business Media, 1996, pp. 59-62. URL consultato il 27 agosto 2025.
3. ^ Details of Conway Chained Arrows, su mrob.com, Robert Munafo. URL consultato il 26 agosto 2025.
4. Big numbers - Conway's chained arrow notation, su Susan Stepney. URL consultato il 26 agosto 2025.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Chained Arrow Notation, su MathWorld, Wolfram Research.  

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