Numero automorfo

In matematica si dice numero automorfo o anche intero automorfo un intero positivo ${\displaystyle n}$ in una data base ${\displaystyle b}$ il cui quadrato ha per cifre meno significative ("termina per") l'intero stesso.

Esempi

• In base decimale:

${\displaystyle 5^{2}=2{\mathit {5}};}$ 

${\displaystyle 76^{2}=57{\mathit {76}};}$ 

${\displaystyle 890625^{2}=793212{\mathit {890625}}.}$ 

• In base 6:

${\displaystyle 3^{2}=1{\mathit {3}};}$ 

${\displaystyle 4^{2}=1{\mathit {4}}.}$ 

In base arbitraria

Dalla definizione segue che, data una base ${\displaystyle b}$ , un intero positivo ${\displaystyle n}$  di ${\displaystyle k}$  cifre è un numero automorfo se

${\displaystyle n^{2}=cb^{k}+n}$ 

in cui ${\displaystyle cb^{k}}$  è un numero che termina con ${\displaystyle k}$  zeri, sui quali l'addizione inserisce ${\displaystyle n}$ .

I numeri automorfi possono essere trovati dalla loro definizione risolvendo negli interi l'equazione

${\displaystyle n^{2}-n=n(n-1)=cb^{k}}$ 

equivalente alla congruenza

${\displaystyle n(n-1)\equiv 0{\pmod {cb^{k}}}.}$ 

Esistenza e numero di interi automorfi

La scrittura in forma di congruenza permette di notare che 0 e 1 sono soluzioni indipendentemente dalla base.

Per cercare ulteriori soluzioni, si può notare che ${\displaystyle b^{k}}$  (né suoi multipli) può essere assegnato interamente a ${\displaystyle n}$  o ${\displaystyle n-1}$  perché si avrebbe ${\displaystyle n=b^{k}}$  o ${\displaystyle n=1+b^{k}}$  e in entrambi i casi ${\displaystyle n}$  avrebbe non ${\displaystyle k}$  ma ${\displaystyle k+1}$  cifre.

Dunque i fattori di ${\displaystyle b^{k}}$ devono essere ripartiti tra ${\displaystyle n}$  e ${\displaystyle n-1}$ . Poiché due numeri consecutivi non possono avere fattori in comune (la loro differenza a sua volta conterrebbe tali fattori e dunque non potrebbe essere 1), i fattori di ${\displaystyle c}$  e ${\displaystyle b^{k}}$ devono essere ripartiti in modo che ${\displaystyle n}$  e ${\displaystyle n-1}$  siano relativamente primi. Questo è possibile solo se la base ${\displaystyle b}$  è scomponibile in almeno due fattori diversi. Quindi non esistono numeri automorfi (diversi da quelli banali 0 e 1, che esistono in ogni base) nelle basi prime o potenze di un unico primo. Siano dunque ${\displaystyle c=c_{1}c_{2}}$  e ${\displaystyle b=b_{1}b_{2}}$ , dove i prodotti ${\displaystyle c_{1}b_{1}}$ e ${\displaystyle c_{2}b_{2}}$  sono relativamente primi. Deve essere ${\displaystyle n=c_{1}b_{1}^{k}}$  (che è il numero automorfo cercato) e ${\displaystyle n-1=c_{2}b_{2}^{k}}$ . Per sostituzione della prima nella seconda si ha l'identità di Bézout

${\displaystyle c_{1}b_{1}^{k}-c_{2}b_{2}^{k}=1.}$ 

Analogamente si ottiene il numero automorfo ${\displaystyle c_{2}b_{2}^{k}}$  dall'identità

${\displaystyle c_{2}b_{2}^{k}-c_{1}b_{1}^{k}=1.}$ 

Ciascuna di queste identità, in cui ${\displaystyle b_{1}}$ e ${\displaystyle b_{2}}$  sono note e ${\displaystyle c_{1}}$ e ${\displaystyle c_{2}}$  sono incognite, ammette una soluzione unica (modulo ${\displaystyle b_{2}^{k}}$  per ${\displaystyle c_{1}}$  e modulo ${\displaystyle b_{1}^{k}}$  per ${\displaystyle c_{2}}$ ), ricavabile con l'algoritmo di Euclide, perché ${\displaystyle b_{1}}$ e ${\displaystyle b_{2}}$  (e quindi ${\displaystyle b_{1}^{k}}$ e ${\displaystyle b_{2}^{k}}$ ) sono coprimi. Quindi, per ogni numero di cifre ${\displaystyle k}$ , esistono due automorfi (dati da ${\displaystyle n=c_{1}b_{1}^{k}}$  e ${\displaystyle n=c_{2}b_{2}^{k}}$ ) per ogni modo di ripartire la base in due gruppi primi tra loro di fattori. Il prodotto ${\displaystyle c=c_{1}c_{2}}$  dà la parte iniziale del quadrato del numero automorfo, quadrato che termina in ${\displaystyle n}$ .

Esempio

In base 30 i fattori della base (2, 3 e 5) possono essere ripartiti in sei modi: ${\displaystyle b_{1}=2}$  e ${\displaystyle b_{2}=3\times 5=15}$ , ${\displaystyle b_{1}=3}$  e ${\displaystyle b_{2}=2\times 5=10}$ , ${\displaystyle b_{1}=5}$  e ${\displaystyle b_{2}=2\times 3=6}$  e le stesse tre coppie a fattori invertiti. Si ottengono gli automorfi di una cifra 6, 10, 15, 16, 21 e 25 (espressi in notazione decimale), di due cifre 100, 225, 325, 576, 676 e 801, e così via. Per esempio, ${\displaystyle 10\times 10=100\equiv 10{\pmod {30}}.}$ 

Proprietà

Somma di coppie di autovalori

Si dimostra inoltre che la somma di ogni coppia di automorfi così ottenuta è ${\displaystyle b^{k}+1}$ . Infatti, dette ${\displaystyle c_{1}^{*}}$  e ${\displaystyle c_{2}^{*}}$  le soluzioni della prima identità di Bézout, si ha

${\displaystyle c_{1}^{*}b_{1}^{k}-c_{2}^{*}b_{2}^{k}=1.}$ 

La seconda identità

${\displaystyle c_{2}b_{2}^{k}-c_{1}b_{1}^{k}=1}$ 

può essere riscritta come

${\displaystyle (-c_{1})b_{1}^{k}-(-c_{2})b_{2}^{k}=1,}$ 

dalla quale si nota per paragone con la prima identità di Bézout (e ricordando che le soluzioni del coefficiente di ${\displaystyle b_{2}^{k}}$  sono note modulo ${\displaystyle b_{1}^{k}}$ ) che ${\displaystyle -c_{2}\equiv c_{2}^{*}{\pmod {b_{1}^{k}}}.}$  Poiché si cercano soluzioni di ${\displaystyle k}$  cifre, il loro valore deve essere compreso tra 0 e ${\displaystyle b_{1}^{k}}$ , e si ha

${\displaystyle c_{2}=-c_{2}^{*}+b_{1}^{k}.}$ 

Dunque la prima identità dà il primo automorfo ${\displaystyle c_{1}^{*}b_{1}^{k}}$ , mentre la seconda dà il secondo automorfo della coppia

${\displaystyle c_{2}b_{2}^{k}=-c_{2}^{*}b_{2}^{k}+b_{1}^{k}b_{2}^{k}.}$ 

La loro somma è

${\displaystyle c_{1}^{*}b_{1}^{k}+c_{2}b_{2}^{k}=c_{1}^{*}b_{1}^{k}-c_{2}^{*}b_{2}^{k}+b_{1}^{k}b_{2}^{k}=1+b^{k},}$ 

dove si è usata la prima identità di Bézout e ${\displaystyle b=b_{1}b_{2}.}$ 

Residui modulo fattori della base

Considerando l'equazione

${\displaystyle c_{1}b_{1}^{k}-c_{2}b_{2}^{k}=1{\pmod {b_{2}^{k}}},}$ 

si ottiene la congruenza

${\displaystyle c_{1}b_{1}^{k}\equiv 1{\pmod {b_{2}^{k}}}.}$ 

Inoltre

${\displaystyle c_{1}b_{1}^{k}\equiv 0{\pmod {b_{1}^{k}}}.}$ 

Analogamente, dalla seconda identità di Bézout, si hanno

${\displaystyle c_{2}b_{2}^{k}\equiv 1{\pmod {b_{1}^{k}}}}$ 

e

${\displaystyle c_{2}b_{2}^{k}\equiv 0{\pmod {b_{2}^{k}}}.}$ 

Quindi un numero automorfo è congruente a 0 e 1 modulo i due gruppi di fattori della base nei quali essa è suddivisa.

Costruzione di un automorfo in base quadrato della base di un altro automorfo

A partire da un numero automorfo ${\displaystyle n}$  di ${\displaystyle k}$  cifre, si costruisce un numero automorfo di ${\displaystyle 2k}$  cifre mediante la formula:${\displaystyle n'\equiv 3n^{2}-2n^{3}{\pmod {b^{2k}}}.}$ 

Dimostrazione: se ${\displaystyle n'}$  è un automorfo di ${\displaystyle 2k}$  cifre, è possibile trovare un intero ${\displaystyle j}$  tale per cui ${\displaystyle n'(n'-1)=jb^{2k}}$ . Sostituendo l'espressione di ${\displaystyle n'}$  e fattorizzando si ottiene ${\displaystyle n^{2}(n-1)^{2}(4n^{2}-4n-3)=jb^{2k}}$ . Poiché per ipotesi ${\displaystyle n}$  è un automorfo di ${\displaystyle k}$  cifre, esiste un intero ${\displaystyle i}$  tale per cui ${\displaystyle n(n-1)=ib^{k}}$ . Sostituendo nella precedente equazione si ottiene ${\displaystyle i^{2}b^{2k}(4n^{2}-4n-3)=jb^{2k}}$  e, semplificando ${\displaystyle b^{2k}}$ , si giunge a ${\displaystyle j=i^{2}(4n^{2}-4n-3)}$ . Dunque esiste ${\displaystyle j}$  tale per cui ${\displaystyle n'(n'-1)=jb^{2k}}$ e ${\displaystyle n'}$  è automorfo.

In base decimale

Poiché la base 10 può essere suddivisa solo in ${\displaystyle 2\times 5=10}$ , per ogni numero ${\displaystyle k}$  di cifre esistono esattamente due numeri automorfi di ${\displaystyle k}$  cifre (5 e 6 per ${\displaystyle k=1}$  (una cifra); 25 e 76 per ${\displaystyle k=2}$ ; 376 e 625 per ${\displaystyle k=3}$ ; ...). Uno di essi gode delle proprietà ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {2^{k}}}}$  e ${\displaystyle n\equiv 1{\pmod {5^{k}}}}$ ; l'altro delle proprietà ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {5^{k}}}}$  e ${\displaystyle n\equiv 1{\pmod {2^{k}}}}$ . La somma di questi due numeri è ${\displaystyle 10^{k}+1}$  (5+6=11; 25+76=101; 376+625=1001; ...).

Partendo da 76, che è un automorfo di due cifre, si può calcolare un automorfo di quattro cifre da ${\displaystyle n'\equiv 3\times 76^{2}-2\times 76^{3}{\pmod {10^{4}}}}$ . Si ha ${\displaystyle n'\equiv -860624\equiv 870000-860624=9376{\pmod {10^{2}}}.}$ 

La seguente sequenza di 1000 cifre consente di individuare un numero automorfo di ${\displaystyle k}$  cifre per ${\displaystyle k\leq 1000.}$ 

12781254001336900860348890843640238757659368219796\ 26181917833520492704199324875237825867148278905344\ 89744014261231703569954841949944461060814620725403\ 65599982715883560350493277955407419618492809520937\ 53026852390937562839148571612367351970609224242398\ 77700757495578727155976741345899753769551586271888\ 79415163075696688163521550488982717043785080284340\ 84412644126821848514157729916034497017892335796684\ 99144738956600193254582767800061832985442623282725\ 75561107331606970158649842222912554857298793371478\ 66323172405515756102352543994999345608083801190741\ 53006005605574481870969278509977591805007541642852\ 77081620113502468060581632761716767652609375280568\ 44214486193960499834472806721906670417240094234466\ 19781242669078753594461669850806463613716638404902\ 92193418819095816595244778618461409128782984384317\ 03248173428886572737663146519104988029447960814673\ 76050395719689371467180137561905546299681476426390\ 39530073191081698029385098900621665095808638110005\ 57423423230896109004106619977392256259918212890625

Qui il segno backslash (\) segnala che la scrittura decimale continua nella linea successiva. Basta prendere la sequenza delle ultime ${\displaystyle k}$  cifre, e l'altro numero si ottiene sottraendo da ${\displaystyle 10^{k}+1}$  il numero suddetto.

Tavole dei numeri automorfi in base decimale

n	n2
5	25
25	625
625	390625
90625	8212890625
890625	793212890625
2890625	8355712890625
12890625	166168212890625
212890625	45322418212890625
8212890625	67451572418212890625
18212890625	331709384918212890625
918212890625	843114912509918212890625
9918212890625	98370946943759918212890625
59918212890625	3590192236006259918212890625
259918212890625	67557477392256259918212890625
6259918212890625	39186576032079756259918212890625
56259918212890625	3165178397321142256259918212890625
256259918212890625	65669145682477392256259918212890625
2256259918212890625	5090708818534039892256259918212890625
92256259918212890625	8511217494096854352392256259918212890625
392256259918212890625	153864973445024588727392256259918212890625
7392256259918212890625	54645452612300005057477392256259918212890625
77392256259918212890625	5989561329000849809744977392256259918212890625
977392256259918212890625	955295622596853633012869977392256259918212890625
9977392256259918212890625	99548356235275381465044119977392256259918212890625
19977392256259918212890625	399096201360473745722856619977392256259918212890625
619977392256259918212890625	384371966908872375601191606619977392256259918212890625
6619977392256259918212890625	43824100673983991394155879106619977392256259918212890625
106619977392256259918212890625	11367819579125235975036734004106619977392256259918212890625
4106619977392256259918212890625	16864327638717175315320739859004106619977392256259918212890625
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23230896109004106619977392256259918212890625	539674534027342140805107903732158168526173423230896109004106619977392256259918212890625

n	n2
6	36
76	5776
376	141376
9376	87909376
109376	11963109376
7109376	50543227109376
87109376	7588043387109376
787109376	619541169787109376
1787109376	3193759921787109376
81787109376	6689131260081787109376
40081787109376	1606549657881340081787109376
740081787109376	547721051611007740081787109376
3740081787109376	13988211774267263740081787109376
43740081787109376	1913194754743017343740081787109376
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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Automorphic Number, su MathWorld, Wolfram Research.  

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