Equazioni di Navier-Stokes mediate

Le equazioni di Navier-Stokes mediate, alle quali spesso ci si riferisce come RANS o Reynolds Averaged Navier-Stokes equations (anche se in realtà la media è di Favre), sono equazioni di Navier-Stokes dove le grandezze risultano non più istantanee, ma mediate in un certo periodo di tempo, sufficientemente piccolo rispetto ai fenomeni che si vogliono seguire, sufficientemente grande rispetto ai disturbi della turbolenza.

Per molte applicazioni pratiche, la sola conoscenza delle grandezze medie può essere sufficiente per la soluzione del problema. Questo approccio consente una notevole riduzione dei tempi di calcolo, poiché le scale del moto medio sono molto più grandi di quelle delle fluttuazioni turbolente. In effetti un moto turbolento può essere considerato come la sovrapposizione di un moto medio e di un moto fluttuante nel tempo.

Media nel tempo

A causa della turbolenza i valori istantanei e locali delle grandezze fisiche in gioco subiscono delle fluttazioni continue e disordinate.

Sia s una grandezza qualsiasi misurabile all'interno di un fluido viscoso in moto turbolento (ad es. la velocità), la decomposizione di Reynolds separa la grandezza s nella sua componente media (${\displaystyle }{\bar {s}}$ ) e nella sua componente fluttuante (${\displaystyle s'}$ ).

${\displaystyle s\left({\vec {x}},t\right)={\overline {s}}\left({\vec {x}},t\right)+s'\left({\vec {x}},t\right)}$ 

L'operazione di media deve essere fatta su un intervallo finito di tempo sufficientemente lungo rispetto alla scala temporale della fluttuazioni (in modo da annullarne la media), ma di contro questo intervallo deve essere sufficientemente breve da poter trattare la grandezza s come costante nel tempo. In simboli:

${\displaystyle {\overline {s}}\left({\vec {x}},t\right)={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t}^{t+\Delta t}s\left({\vec {x}},t\right)dt}$ 

${\displaystyle {\overline {s'}}\left({\vec {x}},t\right)={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t}^{t+\Delta t}s'\left({\vec {x}},t\right)dt=0}$ 

Le durate temporali sulle quali vengono eseguite le medie variano da pochi minuti.^[1]

Le equazioni del moto medio

Le equazioni del moto e di continuità in teoria possono essere applicate ai valori istantanei e locali del moto (nel moto turbolento questi valori sono soggetti a fluttuazioni continue e disordinate), tuttavia una descrizione così minuta pone dei problemi molto complessi. Dal punto di vista tecnico è sufficiente conosiderare solo le medie temporali dei valori istantanei e locali delle grandezze in gioco.

Considerando un moto mediamente stazionario e assumendo il fluido come incomprimibile, otteniamo:

• Equazione di continuità: ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}={\frac {\partial ({}{\bar {v_{x}}}+v'_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial ({}{\bar {v_{y}}}+v'_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial ({}{\bar {v_{z}}}+v'_{z})}{\partial z}}=0}$ 
• Equazioni del moto nella forma di Navier-Stokes: ${\displaystyle \rho {\frac {\partial {\overline {v}}_{i}}{\partial t}}+\rho {\overline {v}}_{j}{\frac {\partial {\overline {v}}_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {P}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {v}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-\rho {\frac {\partial {\overline {v'_{i}v'_{j}}}}{\partial x_{j}}}}$ 

L'ultimo termine dell'equazione del moto medio rappresenta il tensore di Reynolds.

Media di Favre

${\displaystyle {{\overline {\rho }}\left({\vec {x}},t\right)}{\tilde {s}}\left({\vec {x}},t\right)={\overline {\rho \left({\vec {x}},t\right){s}\left({\vec {x}},t\right)}}={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t}^{t+\Delta t}\rho \left({\vec {x}},t\right)s\left({\vec {x}},t\right)dt}$ 

${\displaystyle s\left({\vec {x}},t\right)={\tilde {s}}\left({\vec {x}},t\right)+s''\left({\vec {x}},t\right)}$ 

${\displaystyle {\overline {\rho \left({\vec {x}},t\right){s''}\left({\vec {x}},t\right)}}={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t}^{t+\Delta t}\rho \left({\vec {x}},t\right)s''\left({\vec {x}},t\right)dt=0}$ 

Modellazione degli sforzi di Reynolds

${\displaystyle -{\overline {\rho u''_{i}u''_{j}}}=\mu _{T}\left({\frac {\partial {\tilde {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-{\overline {\rho }}{\tilde {k}}\delta {ij}}$ 

Note

1. ^ Enrico Marchi, Antonello Rubatta, Meccanica dei fluidi.

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