Teorema di Lindemann-Weierstrass

In matematica, il teorema di Lindemann-Weierstrass è un risultato di algebra astratta molto utile per stabilire la trascendenza di determinati numeri. Come corollari, ne vengono la trascendenza di ${\displaystyle e}$ e ${\displaystyle \pi }$.

Esso afferma che se ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ sono numeri algebrici linearmente indipendenti sul campo dei numeri razionali ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, allora ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},...,e^{\alpha _{n}}}$ sono algebricamente indipendenti su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Una formulazione equivalente è la seguente: se ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ sono numeri algebrici distinti, allora ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},...,e^{\alpha _{n}}}$ sono linearmente indipendenti sull'insieme dei numeri algebrici.

Ferdinand von Lindemann provò per primo, nel 1882, che ${\displaystyle e^{\alpha }}$ è trascendente per ogni numero algebrico non nullo ${\displaystyle \alpha }$, mentre nel 1885 Karl Weierstrass ha provato la versione più generale qua enunciata.

Il teorema è generalizzato dalla congettura di Schanuel.

Bibliografia

• Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 0-521-39791-X
• F. Lindemann, Über die Zahl π, Mathematische Annalen, vol. 20 (1882), pp. 213-225
• David Hilbert, Ueber die Transcendenz der Zahlen e und ${\displaystyle \pi }$ . Mathematische Annalen 43] (1893), pp. 216–219
• Kurt Mahler, Lectures on transcendental numbers (= Lecture Notes in Mathematics 546). Springer, Berlin 1976, ISBN 3-540-07986-6
• Karl Weierstrass, Zu Lindemann‘s Abhandlung: „Über die Ludolph'sche Zahl“. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 5 (1885), pp. 1067–1085.

Voci correlate

• Numero algebrico
• Numero trascendente
• Estensione di campi
• Dimostrazione della trascendenza di e
• Teorema di Gel'fond-Schneider

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Lindemann-Weierstrass Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.  

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