Teoria (logica matematica)

Nella logica matematica, una teoria (detta anche teoria formale) è un insieme di enunciati (ovvero formule chiuse) espressi in un linguaggio formale. Nella maggior parte dei casi si sottintende la presenza di un sistema deduttivo, dando luogo a un sistema formale che combina il linguaggio con le regole di deduzione. Un elemento ${\displaystyle \phi \in T}$ di una teoria ${\displaystyle T}$ chiusa deduttivamente (mediante le regole di inferenza del sistema formale) è allora detto un teorema della teoria. In molti sistemi deduttivi esiste solitamente un sottoinsieme ${\displaystyle \Sigma \subseteq T}$ che viene chiamato "insieme degli assiomi" della teoria ${\displaystyle T}$, nel qual caso il sistema deduttivo è anche detto sistema assiomatico. Per definizione, ogni assioma è automaticamente un teorema.

Un tipico esempio di teoria sono le teorie del primo ordine, ovvero insiemi di enunciati esprimibili in logica del primo ordine.

Coerenza e completezza

  Lo stesso argomento in dettaglio: Coerenza (logica matematica) e Completezza (logica matematica).

Una teoria è detta sintatticamente coerente se da essa non si può dimostrare ogni enunciato nel linguaggio sottostante (rispetto a qualche sistema deduttivo, che di solito è chiaro dal contesto). In un sistema deduttivo (come la logica del primo ordine) che soddisfa il principio di esplosione, questo equivale a richiedere che non esista un enunciato ${\displaystyle \phi }$  tale che sia ${\displaystyle \phi }$  sia la sua negazione ${\displaystyle \neg \phi }$  possano essere dimostrate a partire dalla teoria.

Una teoria è detta soddisfacibile se ha almeno un modello. Ciò significa che esiste una struttura ${\displaystyle M}$  che la soddisfa (ovvero, che ne soddisfa ogni enunciato). Qualsiasi teoria soddisfacibile è sintatticamente coerente, perché la struttura che soddisfa la teoria soddisferà esattamente uno fra ${\displaystyle \phi }$  e ${\displaystyle \neg \phi }$ , per ogni enunciato ${\displaystyle \phi }$ .

Una teoria è a volte detta coerente se è sintatticamente coerente, altre volte se è soddisfacibile. Nella logica del primo ordine, il caso più importante, segue dal teorema di completezza di Gödel che i due significati coincidono.^[1] In altre logiche, come la logica del secondo ordine, esistono teorie sintatticamente consistenti che non sono soddisfacibili, come le teorie ω-incoerenti.

Una teoria completa e coerente (o, più semplicemente, una teoria completa) è una teoria coerente ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$  tale che per ogni enunciato ${\displaystyle \phi }$  nel suo linguaggio, o ${\displaystyle \phi }$  è dimostrabile da ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$  oppure ${\displaystyle {\mathcal {T}}\cup \{\phi \}}$  è incoerente. Per le teorie chiuse sotto la conseguenza logica, ciò significa che per ogni enunciato ${\displaystyle \phi }$ , o ${\displaystyle \phi }$  o la sua negazione è contenuta nella teoria.^[2] Una teoria incompleta è una teoria coerente che non è completa.

Esempi

Un modo per specificare una teoria è definire un insieme di formule in un linguaggio particolare che fungano da assiomi. La teoria può essere presa per considerare solo quegli assiomi, o le loro conseguenze logiche o dimostrabili, a seconda delle esigenze. A titolo di esempio, si vedano le voci ZFC e Aritmetica di Peano.

Un secondo modo per specificare una teoria è prendere una struttura e considerare la teoria costituita dall'insieme degli enunciati che sono soddisfatti da essa. Questo è un metodo per produrre teorie complete per via semantica (anziché sintattica, come nell'esempio precedente). Fra gli esempi di teorie di questo tipo rientrano l'insieme degli enunciati veri nella struttura ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,\times ,0,1,=)}$  (ad es. ${\displaystyle \forall x\forall y.(x+y=y+x)}$ ) dove ${\displaystyle \mathbb {N} }$  è l'insieme dei numeri naturali, e l'insieme degli enunciati vere nella struttura ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,0,1,=)}$  dove ${\displaystyle \mathbb {R} }$  è l'insieme dei numeri reali. La prima di queste, chiamata teoria dell'aritmetica vera, non può essere scritta come insieme di conseguenze logiche di alcun insieme enumerabile di assiomi. La seconda, detta teoria dei campi reali chiusi, fu invece dimostrata da Tarski essere decidibile.

Voci correlate

• Sistema assiomatico
• Interpretabilità
• Lista di teorie del primo ordine
• Teoria matematica
• Teorema di deduzione

Note

1. ^ (EN) William Weiss e Cherie D'Mello, Fundamentals of Model Theory (PDF), su University of Toronto — Department of Mathematics, 2015 (archiviato il 3 settembre 2012).
2. ^ (EN) Completeness (in logic) - Encyclopedia of Mathematics, su encyclopediaofmath.org. URL consultato il 1º novembre 2019 (archiviato dall'url originale il 25 ottobre 2020).

Bibliografia

• (EN) Wilfrid Hodges, A shorter model theory, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-58713-1.
• (EN) Haskell Curry, Foundations of Mathematical Logic, Mcgraw Hill, 1963.
• (EN) Abraham A. Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Levy (a cura di), Chapter V - Metamathematical and Semantical Approaches, in Foundations of Set Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 67, Elsevier, 1973, pp. 275-345, DOI:10.1016/S0049-237X(08)70337-9, ISSN 0049-237X (WC · ACNP).

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica