Utente:Egregiopiazzi/Sandbox

Introduzione al Teorema di Piazzi

Nella teoria degli insiemi e nell'analisi matematica, la rappresentazione degli intervalli di esistenza di una funzione riveste un ruolo fondamentale nella determinazione del dominio e del comportamento delle curve. In particolare, la scrittura degli intervalli disgiunti pone alcune difficoltà di notazione, poiché la rappresentazione tradizionale utilizza la disgiunzione logica ("or") per separare due regioni distinte.

Ad esempio, consideriamo la disequazione quadratica:

${\displaystyle x^{2}-4>0}$.

Il metodo tradizionale di risoluzione porta alla seguente rappresentazione del dominio :

${\textstyle x<-2\cup x>2}$

Tale notazione, sebbene corretta, risulta meno compatta rispetto al caso delle disequazioni del tipo ${\displaystyle x^{2}-4<0}$, che vengono espresse mediante un unico intervallo:

${\displaystyle -2<x<2}$

L'obiettivo del Teorema di Piazzi è proporre una nuova notazione per la rappresentazione di intervalli disgiunti, al fine di rendere più compatta e intuitiva l'espressione di soluzioni di questo tipo.

Teorema sulla Notazione per Intervalli Disgiunti di Piazzi

Enunciato del Teorema di Piazzi

Siano ${\displaystyle I1}$ e ${\displaystyle I2}$ due intervalli disgiunti definiti come:

${\displaystyle I1=(-{\displaystyle \infty },a),I2=(b,+{\displaystyle \infty }),}$

con ${\displaystyle a<b}$

Definiamo la seguente notazione alternativa:

${\displaystyle a>x>b}$

per rappresentare l'unione degli intervalli disgiunti:

${\displaystyle x<a\cup x>b}$

Dimostrazione

La notazione tradizionale utilizza la forma esplicita dell'unione:

${\displaystyle x{\displaystyle \in }(-{\displaystyle \infty },a)\cup (b,+{\displaystyle \infty })}$.

Tuttavia, questa espressione richiede l'uso esplicito dell'operatore di unione, rendendo la scrittura meno immediata.

La nuova notazione proposta, "${\displaystyle a>x>b}$", riflette il comportamento della disuguaglianza classica "${\displaystyle a>x>b}$", con l'unica differenza che in questo contesto si tratta di due intervalli separati.

La coerenza logica della notazione è preservata dal fatto che la lettura convenzionale di una doppia disuguaglianza viene mantenuta, con l'interpretazione che ${\displaystyle x}$ deve essere inferiore ad "${\displaystyle a}$" e superiore a "${\displaystyle b}$".

Conclusione

L'adozione della notazione "${\displaystyle a>x>b}$" per rappresentare intervalli disgiunti introduce un nuovo modo di scrivere soluzioni di disequazioni che presentano due regioni di validità distinte. Tale notazione offre un'espressione più compatta e immediata, riducendo la necessità di utilizzare il simbolo di unione o il connettivo logico "oppure".