Utente:Maljma/Filtro

La definizione matematica di filtro e gli assiomi che devono essere verificati sono:

Sia E un insieme qualsiasi.

Viene definito filtro su E un insieme F non vuoto di parti di E se sono soddisfatti:

l’insieme vuoto non appartiene a F;
se A è un elemento di F e se è incluso in un sottoinsieme B di E, allora B è pure un elemento di F;
se A e B sono elementi di F, allora la loro intersezione A∩B appartiene pure a F.

Un esempio di filtro è l’insieme degli intorni di un punto dato x in uno spazio topologico. Infatti:

l’insieme vuoto non è un intorno di x;
se A è un intorno di x, ogni insieme B contenente A è pure un intorno di x;
se A e B sono intorni di x, anche la loro intersezione è un intorno di x.

Inoltre:

Sia A un insieme; una famiglia non vuota B di parti di A è chiamata base di filtro su A se sono verificati i due seguenti assiomi:

l’insieme vuoto non appartiene a B;
l’intersezione di due elementi qualunque di B contiene un elemento di B.

Questa definizione di base di filtro permette di generalizzare la nozione di limite:

Siano A un insieme qualsiasi, B una base di filtro su A e F uno spazio topologico.

Si dice che un’applicazione f:A→ F tende a L, con L є F, seguendo la base di filtro B, quale che sia l’intorno V di L, se esiste nella base di filtro B un insieme B¹ tale che, per ogni x appartenente a B¹, f(x) è elemento di V.

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