Coefficiente multinomiale: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|febbraio 2013}}

Il '''coefficiente multinomiale''' è una estensione del [[coefficiente binomiale]].

PerIl numeri'''coefficiente interimultinomiale''' nonè negativiun'estensione del [[coefficiente binomiale]]. Siano <math>n, k_1, ...\ldots, k_r</math> dei numeri interi positivi con <math>k_1+...\ldots+k_r = n</math>. Il coefficiente multinomiale è definito come

è definito come

:<math>{n \choose k_1, \dots ldots, k_r} := \frac{n!}{k_1!\cdotprod_{i=1}^{r} \dots \cdot k_rk_i!} ,</math>

dove <math>\prod_{i=1}^r</math> è il simbolo della [[produttoria]]. Il coefficiente multinomiale è sempre un [[numero naturale]].<ref>{{Cita libro|autore=Martin Aigner|titolo=Combinatorial Theory|collana=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol 234|anno=1979|editore=Springer}}</ref>

:<math>{n \choose k_1, \dots , k_r} := \frac{n!}{k_1!\cdot \dots \cdot k_r!}

</math>

che è sempre un [[numero naturale]].

==Teorema multinomiale==

Come generalizzazione del [[teorema binomiale]] vale il cosiddetto '''teorema multinomiale''':

: <math>(x_1+\ldots+x_r)^n =\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n\choose k_1,\ldots,k_r}\cdot x_1^\prod_{k_1i=1}\cdots^r x_rx_i^{k_rk_i}.,</math>

Come generalizzazione del [[teorema binomiale]] vale il cosiddetto '''teorema multinomiale''':

ossia

: <math>(x_1+\ldots+x_r)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n\choose k_1,\ldots,k_r}\cdot x_1^{k_1}\cdots x_r^{k_r}.</math>

:<math>\bigg(\sum_{i=1}^r x_i \bigg)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r \frac{x_i^{k_i}}{k_i!}},</math>

ovvero

:dove <math>(x_1+\ldots+x_r)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot</math> \prod_{i=1}^indica la [[sommatoria]] di tutte le possibili <math>r</math>-ple x_i^{k_i}\cdot\frac{1}{k_i!}}la cui somma degli elementi corrisponda proprio a <math>n</math>.

In particolare, per <math>x_1=\ldots=x_r=1</math> si ottiene:

dove <math>\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}</math> indica la sommatoria di tutte le possibili ennuple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a ''n''.

:<math>r^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r \frac{1}{k_i!}}.</math>

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della [[notazione multi-indice]] e della [[contrazione tensoriale]]:

:<math> (x_1+\ldots+x_r)^n= \sum_{|\alpha|=n}^{}{\frac{n!}{\alpha!} \, \mathbf{x}^{\alpha}} </math>

:<math>x^n= \sum_{k=n} n! \frac{\mathbf x^{\mathbf k}}{\mathbf k!},</math>

con

:<math>| \alpha | = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{n}</math>

con le [[norma (matematica)|norme unitarie]]:

:<math>\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) \in \mathbb{R}^n</math>

:<math>\mathbf{x}^\alpha = x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}</math>

:<math>k = \sum_{i=1}^r k_i= \left\| \mathbf k \right\|_1,</math>

:<math>x = \sum_{i=1}^r x_i= \left\| \mathbf x \right\|_1,</math>

e

:<math>\mathbf{x}^{\mathbf k} = (x_{1}^{k_{1}}, x_{2}^{k_{2}}, \ldots, x_{nr}^{k_{r}}) \in \mathbb{R}^nr.</math>

== Applicazioni ==

Il coefficiente multinomiale dàè ilpari al numero delledi [[Permutazione|permutazioni]]modi diin ''n''cui oggetti,possono diessere cuimessi ''k''<submath>1n</submath> ugualioggetti tra loro,in ''k''<submath>2r</submath> ugualiscatole tra loro e così viadistinte, potendo untali qualsiasiche ''k''<submath>ik_1</submath> essereoggetti ugualestiano adnella 1prima edscatola, avendosi così ''k''<submath>1k_2</submath> +nella ''k''₂seconda, +e ...così + ''k''_r = ''n''via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle [[Permutazione|permutazioni]] di <math>n</math> oggetti, di cui <math>k_1</math> uguali tra loro, <math>k_2</math> uguali tra loro e così via, dove i valori <math>k_i</math> sono numeri naturali uguali o maggiori a <math>1</math> che soddisfano quindi <math>\sum_{i=1}^r k_i=n</math>.

Il coefficiente multinomiale viene usato, inoltre, nella definizione della [[variabile casuale multinomiale]]:

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della [[variabile casuale multinomiale]], una [[variabile casuale discreta]], generalizzazione della variabile casuale [[Distribuzione binomiale|binomiale]]. Notiamo <math>X = (X_1,\ldots,X_r)</math> una variabile casuale che segue la legge multinomiale di parametri <math>\left( (p_1,\ldots,p_r),n \right)</math>, dove i valori <math>p_i</math> sono dei numeri positivi tali che <math>p_1+\ldots+p_r=1</math>. Immaginamo di lanciare <math>n</math> volte un dado a <math>r</math> facce distinte, di cui la <math>i</math>-esima faccia ha probabilità <math>p_i</math> di apparire, allora <math>X_i</math> è il numero di volte che la <math>i</math>-esima faccia è apparsa (per ogni <math>i \in \{1,\ldots,r\}</math>). In particolare <math>X</math> prende i valori <math>(k_1,\ldots,k_r)</math> con probabilità

:<math>P(X_1=k_1,\, X_2=k_2,\,\dots\, , X_r=k_r) \;=\; {n \choose k_1, \dots , k_r}\cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_r^{k_r},

</math>

:<math>\mathbb{P}\left(X= (k_1,\ldots,k_r) \right)={n \choose k_1,\ldots,k_r}\cdot \prod_{i=1}^r p_i^{k_i}.</math>

una [[variabile casuale discreta]].

== Esempio ==

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco [[Skat (gioco di carte)|skat]]). Quanti sono questi modi?

Quanti sono questi modi? La risposta si trova nel coefficiente multinomiale:

:<math>{32 \choose 10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.5042753294408504640.640</math>

</math>

== Note ==

<references/>

==Voci correlate==

*[[Calcolo combinatorio]]

*[[Coefficiente binomiale]]

*[[Probabilità]]

*[[Teorema binomiale]]

*[[Variabile casuale multinomiale]]

== Collegamenti esterni ==

{{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Combinatoria]]

[[Categoria:Combinatoria]]

[[ca:Teorema multinomial]]

[[de:Polynomialkoeffizient]]

[[en:Multinomial theorem]]

[[fr:Formule du multinôme de Newton]]

[[pt:Teorema multinomial]]

[[ru:Мультиномиальный коэффициент]]

[[sv:Multinomialsatsen]]

[[ur:متعدد رقمی مسلئہ اثباتی]]