Pi greco: differenze tra le versioni

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|simbolo = {{simbolo|Greek lc pi icon.svg|18}}

|valore = [[File:PI (comma).svg|120px]]

|campo = trascendenti

|fcont = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, …]

|oeisfcont = A001203

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|categoria = Pi greco

}}

Il '''pi greco''' è una [[costante matematica]], indicata con la lettera greca <math>\pi</math> (''[[Pi (lettera greca)|pi]]''), scelta in quanto iniziale di περιφέρεια (''perifereia''), [[circonferenza]] in greco.

Nella [[geometria euclidea|geometria piana]] il <math>\pi</math> viene definito come il [[Rapporto (matematica)|rapporto]] tra la lunghezza della [[circonferenza]] e quella del suo [[diametro]], o anche come l'[[area]] di un [[cerchio]] di [[Raggio (geometria)|raggio]] <math>1</math>. Molti testi di [[analisi matematica]] moderni definiscono il <math>\pi</math> usando le [[Funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]]: per esempio come il più piccolo [[numero]] strettamente positivo per cui <math>\sin(x)=0</math> oppure il più piccolo numero che diviso per <math>2</math> annulla <math>\cos(x)</math>. Tutte queste definizioni sono equivalenti.

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=== Geometria analitica ===

*[[Circonferenza]] di un [[cerchio]] o di una [[sfera]] di raggio <math>r</math>:

::<math> C = 2{\pi} r .</math>

*[[Area]] di un cerchio di raggio <math>r</math>:

::<math> A = {\pi} {r^2} .</math>

* Area di un'[[ellisse]] di semiassi <math>a</math> e <math>b</math>:

::<math> A = {\pi} ab .</math>

*[[Volume]] di una [[sfera]] di raggio <math>r</math>:

::<math> V = \frac{4}{3} {\pi} {r^3} .</math>

*[[Superficie]] di una sfera di raggio <math>r</math>:

::<math> S = 4 {\pi} {r^2} .</math>

*[[Volume]] di un [[cilindro (geometria)|cilindro]] di altezza <math>h</math> e raggio <math>r</math>:

::<math> V = {\pi} {r^2} h .</math>

* Superficie di un cilindro di altezza <math>h</math> e raggio <math>r</math>:

::<math> S = 2{\pi} r \cdot (r+h).</math>

* [[Angolo|Angoli]]: 180 [[grado d'arco|gradi]] equivalgono a <math>\pi</math> [[radiante|radianti]].

*[[Volume]] di un cono di altezza ''<math>h''</math> e raggio ''<math>r''</math>:

::<math> V = {\pi} {r^2} \frac{h}{3} .</math>

=== Analisi ===

* [[Formula di Viète]], [[1593]]:

::<math>2 \cdot

::<math>2 \cdot \frac {2}{\sqrt2} \cdot \frac {2}{\sqrt {2+\sqrt2}} \cdot \frac {2}{\sqrt {2+\sqrt{2+\sqrt2}}} \cdot \ldots = \pi.</math>

\frac {2}{\sqrt2} \cdot

\frac {2}{\sqrt {2+\sqrt2}} \cdot

\frac {2}{\sqrt {2+\sqrt{2+\sqrt2}}} \cdot \ldots = \pi </math>

* [[Formula di Leibniz per pi|Formula di Leibniz]]:

::<math> \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} </math>

::<math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>

:dalla quale si ricava che:

::<math> \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{5\cdot7} + \frac{1}{9\cdot11} + \frac{1}{13\cdot15} + \frac{1}{17\cdot19} + \cdots = \frac{\pi}{8} </math>

::<math>\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{5\cdot7} + \frac{1}{9\cdot11} + \frac{1}{13\cdot15} + \frac{1}{17\cdot19} + \cdots = \frac{\pi}{8}.</math>

* Formula di [[Nilakantha Somayaji|Nilakantha]]

::<math>\frac{1}{1\cdot2\cdot3} - \frac{1}{2\cdot3\cdot5} + \frac{1}{3\cdot4\cdot7} - \frac{1}{4\cdot5\cdot9} + \dots = \pi - 3.</math>

:Una serie molto elegante, che fornisce direttamente le cifre decimali di <math>\pi</math>.

* Formula di [[Madhava di Sangamagrama|Madhava]] (circa [[1400]])

::<math>\pi = \sqrt{12}\left(1 - \frac{1}{3\cdot3}+\frac{1}{3^2\cdot 5} -\frac{1}{3^3\cdot 7} + \cdots\right).</math>

:<math>

\pi = \sqrt{12}\left( 1 - \frac{1}{3\cdot3}+\frac{1}{3^2\cdot 5} -\frac{1}{3^3\cdot 7} + \cdots\right)

</math>

* [[Prodotto di Wallis]]:

::<math>

::<math>\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}.</math>

</math>

*[[Problema di Basilea]], risolto da [[Eulero]]:

::<math> \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>

::<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.</math>

* Formula che usa la [[funzione zeta di Riemann]]:

::<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>

::<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}.</math>

*[[Formula prodotto di Eulero|Prodotto di Eulero]], in cui il prodotto percorre tutti i numeri primi:

::<math>\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^2}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{11^2}\right)} \cdots = \frac{\pi^2}{6}.</math>

*[[Integrale di Gauss]]:

::<math> \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} </math>

::<math>\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}.</math>

*[[Integrale di Eulero]]:

::<math>\int_{-\infin}^{+\infin}e^{\frac{-u^2}{2}}du = \sqrt{2\pi}</math>

::<math>\int_{-\infin}^{+\infin}e^{\frac{-u^2}{2}}du = \sqrt{2\pi}.</math>

* Altri [[Tavola degli integrali definiti|integrali definiti]]:

::<math> \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+{x^2}}\, dx = \pi </math>

::<math> \int_0int_{-\infty}^{+\infty}{ \frac{x1}{e^x-1+{x^2}}\, dx} = \frac{\pi^2}{6};</math>

::<math>\int_0^{+\infty}{\frac{\sin x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{26};</math>

::<math>\int_0^{r+\infty}\sqrtfrac{r^2 -\sin x^2}{x}\,dx=\frac{\pi r^2}{42};</math>

::<math>\int_0^{r}\sqrt{r^2 - x^2}dx=\frac{\pi r^2}{4}.</math>

*[[Integrale di Fresnel]]:

::<math>\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\sin (x^2)\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>

::<math>\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\sin (x^2)\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}}.</math>

*[[Funzione Gamma|Funzione gamma]]:

::<math> \Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>

::<math>\Gamma\left({31 \over 2}\right)=\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2};</math>

::<math>\Gamma\left({3 \over 2}\right)=\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.</math>

</math>

*[[Approssimazione di Stirling]]:

::<math> n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>

::<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

*[[Funzione φ di Eulero|Funzione phi di Eulero]]:

::<math>\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math>

::<math>\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2.</math>

*[[Identità di Eulero]], definita da [[Richard Feynman]] «la più notevole formula della matematica»:

::<math> e^{\pi i} + 1 = 0\;</math>

::<math> e^{\pi i} + 1 = 0.</math>

* [[Prodotto infinito]] di [[Eulero]] con i [[numero primo|numeri primi]] dispari:

::<math> \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} \times \frac{7}{8} \times \frac{11}{12} \times \frac{13}{12} \times \frac{17}{16} \times \frac{19}{20} \times \frac{23}{24} \times \frac{29}{28} \times \frac{31}{32} \times \cdots \!</math>

::<math> \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{4} \times \frac{7}{8} \times \frac{11}{12} \times \frac{13}{12} \times \frac{17}{16} \times \frac{19}{20} \times \frac{23}{24} \times \frac{29}{28} \times \frac{31}{32} \times \cdots</math>

:dove al numeratore vi sono tutti i numeri primi dispari e al denominatore il multiplo di quattro più vicino al numeratore.

Riga 125 ⟶ 133:

* Formula basata sulla [[serie armonica]], con "correzione" dei segni ([[Eulero]], [[1748]])

::<math> \pi = {{1}} + \frac{{1}}{{2}} + \frac{{1}}{{3}} + \frac{{1}}{{4}} - \frac{{1}}{{5}} + \frac{{1}}{{6}} + \frac{{1}}{{7}} + \frac{{1}}{{8}} + \frac{{1}}{{9}} - \frac{{1}}{{10}} + \frac{{1}}{{11}} + \frac{{1}}{{12}} - \frac{{1}}{{13}} + \cdots </math>

::<math>\pi = {{1}} + \frac{{1}}{{2}} + \frac{{1}}{{3}} + \frac{{1}}{{4}} - \frac{{1}}{{5}} + \frac{{1}}{{6}} + \frac{{1}}{{7}} + \frac{{1}}{{8}} + \frac{{1}}{{9}} - \frac{{1}}{{10}} + \frac{{1}}{{11}} + \frac{{1}}{{12}} - \frac{{1}}{{13}} + \cdots</math>

: dove i segni si determinano come segue: il numero <math>2</math> ha segno positivo; i numeri primi della forma <math>4m-1</math> hanno segno positivo; i numeri primi della forma <math>4m+1</math> hanno segno negativo; per i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori.<ref>[[Carl Benjamin Boyer|Carl B. Boyer]], ''[[Storia della matematica (Boyer)|Storia della matematica]]'', Oscar saggi Mondadori, 2000, cap. 21.</ref>

:dove i segni si determinano come segue: il numero <math>2</math> ha segno positivo; i numeri primi della forma <math>4m-1</math> hanno segno positivo; i numeri primi della forma <math>4m+1</math> hanno segno negativo; per i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori.<ref>[[Carl Benjamin Boyer|Carl B. Boyer]], ''[[Storia della matematica (Boyer)|Storia della matematica]]'', Oscar saggi Mondadori, 2000, cap. 21.</ref>

:Anche questa serie, pur molto notevole ed elegante, è di convergenza estremamente lenta. Occorre infatti sommare oltre 2 milioni di termini per ottenere due decimali esatti.<ref>Alcuni risultati ottenuti col programma ''Mathematica'': {{formatnum:1000}} termini 3,0603…; {{formatnum:5000}} termini 3,1027…; {{formatnum:50000}} termini 3,1324…; {{formatnum:500000}} termini 3,1379…; 2 milioni di termini 3,1398…; 3 milioni di termini 3,1404…</ref>

* Formula ricavata da quella di [[Serie di Taylor|Taylor]], sempre di [[Eulero]]:

::<math> \pi = {{4}} \times \left( {{1}} - \frac{{1}}{{n}} + \frac{{1}}{{n+2}} - \frac{{1}}{{n+4}} + \frac{{1}}{{n+6}} - \dots \right)</math>

::<math>\pi = {{4}} \times \left( {{1}} - \frac{{1}}{{n}} + \frac{{1}}{{n+2}} - \frac{{1}}{{n+4}} + \frac{{1}}{{n+6}} - \dots \right),</math>

:dove n = 3. Più frazioni si aggiungono più il risultato è preciso.

:dove <math>n = 3.</math> Più frazioni si aggiungono più il risultato è preciso.

*[[Teorema dei residui]]:

::<math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i</math>

::<math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i.</math>

* Frazione continua di [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]]:

::<math>\sqrt{\phi^2+1} = \phi+ \cfrac{e^{-2 \pi/5}}{1 + \cfrac{e^{-2 \pi}}{1 + \cfrac{e^{-4 \pi}}{1+ \cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\,\cdots}}}}</math>

:dove ''<math>\phi</math>'' è il [[Sezione aurea|rapporto aureo]] (<math>1,618\dots</math>).

* BBP formula (Bailey, D., Borwein, P. and Plouffe, S. - 1997):<ref>{{Cita pubblicazione|nome=David|cognome=Bailey|nome2=Peter|cognome2=Borwein|nome3=Simon|cognome3=Plouffe|data=1997|titolo=On the rapid computation of various polylogarithmic constants|rivista=Mathematics of Computation|volume=66|numero=218|pp=903–913903-913|accesso=2024-08-13|doi=10.1090/s0025-5718-97-00856-9|url=http://dx.doi.org/10.1090/s0025-5718-97-00856-9}}</ref>

::<math>\pi=\frac{5\sqrt{2+\phi}}{2\phi}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2\phi}\right)^{5n}\left(\frac{1}{5n+1}+\frac{1}{2\phi^{2}\left(5n+2\right)}-\frac{1}{2^{2}\phi^{3}(5n+3)}-\frac{1}{2^{3}\phi^{3}(5n+4)}\right).</math>

* Frazione continua generalizzata (o frazione [[frattale]]) di Ramanujan:

:<math> 1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + {{1\over 1 + {1\over 1 + {2\over 1 + {3\over 1 + {4\over 1 + {5\over 1 + \cdots }}}}}}} = \sqrt{\frac{{\rm e}\pi}2}.</math>

::<math> 1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + {{1\over 1 + {1\over 1 + {2\over 1 + {3\over 1 + {4\over 1 + {5\over 1 + \cdots }}}}}}} = \sqrt{\frac{{\rm e}\pi}2}.</math>

* Formula che lega la [[costante di Eulero-Mascheroni]] e la [[Funzione Gamma|funzione gamma]], da cui deriva il pi greco:

:<math>\pi=\left({\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(2\gamma)\Gamma(1/2-\gamma)}+\frac{2\Gamma(1-2\gamma)}{\Gamma(1-\gamma)\Gamma(1/2-\gamma)}}\right)^2 \left(\frac{\Gamma(\gamma)\Gamma(1/2 - \gamma/ 2)}{\Gamma(\gamma /2)}\right)^4</math>

::<math>\pi=\left({\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(2\gamma)\Gamma(1/2-\gamma)}+\frac{2\Gamma(1-2\gamma)}{\Gamma(1-\gamma)\Gamma(1/2-\gamma)}}\right)^2 \left(\frac{\Gamma(\gamma)\Gamma(1/2 - \gamma/ 2)}{\Gamma(\gamma /2)}\right)^4.</math>

* Data una semicirconferenza di raggio <math>r</math> con centro nell'origine del piano cartesiano, <math>\pi r</math> è definibile come [[curva piana#Lunghezza in forma cartesiana esplicita|lunghezza in forma cartesiana esplicita]] su tutto il dominio della funzione che descrive la semicirconferenza: <math>f\left( x\right) := \sqrt{r^2 - x^2} </math>

::<math>

* Data una semicirconferenza di raggio <math>r</math> con centro nell'origine del piano cartesiano, <math>\pi r</math> è definibile come [[curva piana#Lunghezza in forma cartesiana esplicita|lunghezza in forma cartesiana esplicita]] su tutto il dominio della funzione che descrive la semicirconferenza <math>f\left( x\right) := \sqrt{r^2 - x^2}</math>

\begin{align}

\pi &= \frac{1}{r}\int_{- r}^{r} \sqrt{\Big(\frac{d}{dx} f(x)\Big)^2 + 1}\, dx\\

::<math>\begin{align}

&= \frac{1}{r}{\int_{- r}^{r} \sqrt{\frac{x^2}{r^2 - x^2} + 1}\, dx}\\

\pi &= \frac{1}{r}\int_{-r}^{r} \sqrt{\Big(\frac{d}{dx} f(x)\Big)^2 + 1}\, dx\\

&= [{\arcsin(1) - \arcsin(-1)]}

&= \frac{1}{r}{\int_{-r}^{r} \sqrt{\frac{x^2}{r^2 - x^2} + 1}\, dx}\\

&= [\arcsin(1) - \arcsin(-1)].

\end{align}</math>

=== Teoria dei numeri ===

* La [[probabilità]] che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di: <math>\frac{6}{\pi^2}</math> (≈60,8%).

* Il numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due [[quadrato perfetto|quadrati perfetti]] è: <math>\frac{\pi}{4}.</math>

=== Sistemi dinamici, teoria ergodica ===

* <math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi} </math> per quasi tutti i [[Numero reale|reali]] <math>x_0</math> in <math>[0, 1]</math> dove gli <math>x_i</math> sono iterazioni della [[mappa logistica]] per <math>r=4.</math>

=== Probabilità e statistica ===

*[[Funzione di densità di probabilità]] nella [[distribuzione normale]] univariata:

::<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}</math>

::<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}.</math>

*[[Georges-Louis Leclerc de Buffon|Buffon]] fu il primo a scoprire un [[equivalente statistico]] del calcolo di <math>\pi</math>, noto come [[ago di Buffon]], ma non lo impiegò per stimare il numero.<ref>Fu [[Augustus de Morgan|de Morgan]] che cento anni dopo con alcuni suoi studenti utilizzò stimò pi greco col metodo dell'ago: con 600 lanci ottenne 382 casi favorevoli, ricavando <math>\pi</math> di 3,14. Il metodo ha però convergenza lenta: per trovare la terza cifra decimale occorrono decine di migliaia di lanci.</ref>

Riga 176 ⟶ 195:

=== Fisica ===

* [[pendolo|Periodo delle piccole oscillazioni del pendolo]]:

::<math>T = 2 \pi \sqrt \frac {l}{g}</math>

::<math>T = 2 \pi \sqrt \frac {l}{g}.</math>

* [[Equazione di campo di Einstein]] della [[relatività generale]]:

::<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} </math>

::<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}.</math>

* [[Forza di Coulomb]]:

::<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2} </math>

::<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}.</math>

* [[Principio di indeterminazione di Heisenberg]]:

::<math> \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>

::<math> \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}.</math>

La presenza di <math>\pi</math> in queste due ultime formule, però, è conseguenza della definizione adottata per le costanti fisiche <math>\epsilon_0</math> e <math>h</math>.

== Frazioni continue ==

Come ogni numero irrazionale, &<math>\pi;</math> non può essere espresso come una frazione di due numeri interi, ma ammette una rappresentazione come [[frazione continua]]:<ref name="ReferenceA">

{{OEIS|A001203}}</ref>

:<math>\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}.</math>

:<math>

\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math>

Troncando la frazione continua in un qualunque punto si ottengono le [[Frazione continua#Approssimazioni razionali|approssimazioni razionali]] di &<math>\pi;</math>, di cui le prime sono 3, 22/7, 333/106 e 355/113, le approssimazioni di &<math>\pi;</math> più conosciute e storicamente usate. La frazione continua di &<math>\pi;</math> non è periodica (in quanto &<math>\pi;</math> non è un numero [[irrazionale quadratico]]) né possiede una ovvia struttura,<ref name="ReferenceA" /> tuttavia vari matematici hanno scoperto delle rappresentazioni come [[frazione continua generalizzata|frazioni continue generalizzate]] che seguono un chiaro schema:<ref>{{cita pubblicazione|titolo=An Elegant Continued Fraction for &pi;|nome=L. J.|cognome=Lange|rivista=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=106|numero=5| data=May 1999 |pp=456–458456-458|jstor=2589152|doi=10.2307/2589152|issn = 0002-9890 }}</ref>

:<math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}

Riga 206 ⟶ 231:

[[File:10,000 digits of pi - poster.svg|thumb|Prime {{formatnum:10000}} cifre decimali di ''pi greco''.]]

A causa della sua natura trascendente, non ci sono espressioni finite che rappresentano <math>\pi</math>. Di conseguenza i calcoli numerici devono usare approssimazioni del numero, troncandolo ad un numero ritenuto sufficiente di cifre significative. In molti casi basta 3,14; in ambito ingegneristico si usa spesso 3,1416 (cinque cifre significative) o 3,14159 (6 cifre significative).

:<math> \pi \simeq 3{,}14159\ 26535\ 8979\dots</math>

:<math>\pi \simeq 3{,}14159\ 26535\ 8979\dots</math>

Uno scriba egizio di nome [[Ahmes]] è lo scrittore del più antico testo conosciuto contenente un'approssimazione di <math>\pi</math>, il [[papiro di Rhind]], datato al XVII secolo a.C. e descrive il valore come 256/81 oppure 3,160.

Riga 218 ⟶ 244:

Il matematico e astronomo iraniano [[Al-Kashi|Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi]], 1350-1439, calcolò le prime 9 cifre in base 60 di <math>\pi</math>, che sono equivalenti nella base decimale alle 16 cifre:

:<math>2\pi = 6,2831853071795865\ldots</math>

Il matematico tedesco [[Ludolph van Ceulen]] (1600 circa) calcolò i primi 35 decimali. Era così fiero del suo risultato che lo fece scrivere sulla sua lapide.

Riga 227 ⟶ 253:

Altre possibili approssimazioni di <math>\pi</math>:

:<math>\pi\approx\frac{\sqrt{2}}{10}+3 = 3{,}14142 \dots </math>

:<math>\sqrt[2]{pi\approx\frac{227}\sqrt{232}}{10}+3 = 3{,}1415814142 \dots </math>

:<math>\sqrt[32]{31\frac{227}{23}} = 3{,}141314158 \dots </math>

:<math>\sqrt[43]{\frac{2143}{22}31} = 3{,}14159\ 265251413 \dots </math>

:<math>\sqrt[54]{306\frac{2143}{22}} = 3{,}1415514159\ 26525 \dots </math>

:<math>\sqrt[65]{\frac{17305}{18}306} = 3{,}141592414155 \dots </math>

:<math>\sqrt[6]{\frac{17305}{18}} = 3{,}1415924 \dots</math>

Tuttavia, nessuna delle formule sopraelencate può fornire un efficiente metodo per l'approssimazione di <math>\pi</math>. Per calcoli veloci, si può usare una formula come quella di Machin:

:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} .</math>

Insieme con lo sviluppo delle [[serie di Taylor]] per la funzione <math>\arctan(x)</math>. Questa formula si può verificare facilmente usando le [[Sistema di coordinate polari|coordinate polari]] dei [[Numero complesso|numeri complessi]], partendo da:

:<math>(5+i)^4\cdot(-239+i)=-114244-114244 \, i114244i.</math>

Formule di questo genere sono note come ''"formule di tipo Machin''".

Sviluppi decimali molto lunghi di <math>\pi</math> sono calcolati tipicamente con l'algoritmo Gauss-Legendre e l'algoritmo Borwein; in passato era usato anche l'algoritmo Salamin-Brent, inventato nel [[1976]].

Riga 252 ⟶ 279:

Sono state usate le seguenti formule di tipo Machin:

:<math> \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}</math>

:K. Takano ([[1982]]).

: <math> \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}</math>

:F. C. W. Störmer ([[1896]]).

Riga 263 ⟶ 290:

Nel [[1996]] David H. Bailey, insieme a Peter Borwein e Simon Plouffe, scoprì una nuova formula per calcolare <math>\pi</math> come serie infinita:

: <math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k}\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right).</math>

\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)</math>

Questa formula permette di calcolare facilmente la <math>k</math>-esima cifra [[sistema numerico binario|binaria]] o [[sistema numerico esadecimale|esadecimale]] di <math>\pi</math> senza dover calcolare tutte le cifre precedenti. Il [http://crd.lbl.gov/~dhbailey/pi/ sito web di Bailey] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100106234827/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/pi/|data=6 gennaio 2010|titolo=Pi Directory}} ne contiene l'implementazione in vari [[linguaggio di programmazione|linguaggi di programmazione]].

Riga 270 ⟶ 296:

Alcune altre formule usate per calcolare stime di <math>\pi</math> sono:

* <math>\frac{\pi}{2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots</math>

* <math>

\frac{\pi}{2}=

\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=

1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots

</math>

:da [[Isaac Newton|Newton]] (<math>n!!</math> indica il [[Fattoriale#Semifattoriale o doppio fattoriale|semifattoriale]]).

* <math> \frac{\pi}{2} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots</math>

* <math> \frac{\pi}{2} =

\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots </math>

:nota come [[Prodotto di Wallis|prodotto infinito di Wallis]].

* <math>\frac2\pi=\frac{\sqrt2}2\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots</math>

* <math>\frac2\pi=

\frac{\sqrt2}2

\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2

\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots</math>

:nota come [[formula di Viète]].

* <math> \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} </math>

:da [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]].

* <math> \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} </math>

:da [[Fratelli Čudnovskij|David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky]] ([[algoritmo di Chudnovsky]]).

* <math>{\pi} = 20 \arctan\frac{1}{7} + 8 \arctan\frac{3}{79} </math>

:da [[Eulero]].

* <math> \pi = \frac {\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} \left (1 + \frac{1}{4n^2-1} \right )}{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{4n^2-1}} = \frac {\displaystyle\left (1 + \frac{1}{3} \right ) \left (1 + \frac{1}{15} \right ) \left (1 + \frac{1}{35} \right ) \cdots} {\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \cdots} </math>

:nota come [[formula simmetrica]]

:nota come [[formula simmetrica]].

* <math>\frac{\pi}{8} = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{2k+1}.</math>

:<math>\frac{\pi}{12} = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(2-\sqrt{3})^{2k+1}}{2k+1}.</math>

:da [[Pafnutij L'vovič Čebyšëv|Chebyshev]]

:da [[Pafnutij L'vovič Čebyšëv|Chebyshev]].

* <math> \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}</math>

* <math> \pi = \sum_{n=1}^\infty \frac{3^{n}-1}{4^n}\zeta(n+1) </math>

* <math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}.</math>

* <math>\pi = \sum_{n=1}^\infty \frac{3^{n}-1}{4^n}\zeta(n+1).</math>

Altre formule d'approssimazione sono contenute nella tabella sottostante:<ref>[http://www.pi314.net/eng/ramanujan.php The world of Pi - Simon Plouffe / David Bailey<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref><ref>[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html Collection of series for &pi;]</ref>

Riga 344 ⟶ 370:

| <math>\pi=\frac{3528}{Z} </math>|| <math>Z=\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^44^{4n}882^{2n}}</math>

|}

Nel 2024 è stata ottenuta un'approssimazione che converge più rapidamente al pi greco, combinando i [[diagramma di Feynman|diagrammi di Feynman]] con la [[Funzione beta di Eulero]], legata alla [[teoria delle stringhe]].<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Arnab Priya|cognome=Saha|nome2=Aninda|cognome2=Sinha|data=2024-05-28|titolo=Field Theory Expansions of String Theory Amplitudes|rivista=Physical Review Letters|volume=132|numero=22|pp=221601|accesso=2025-09-17|doi=10.1103/PhysRevLett.132.221601|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.132.221601}}</ref><ref>{{Cita web|lingua=it|autore=Angelo Petrone|url=https://tech.everyeye.it/notizie/nuova-formula-greco-svolta-calcoli-fisica-quantistica-827442.html|titolo=Nuova formula per il pi greco: svolta nei calcoli della fisica quantistica|sito=Everyeye Tech|data=2025-09-12|accesso=2025-09-17}}</ref>

== Storia ==

I popoli antichi spesso utilizzavano modi indiretti per esprimere approssimativamente il rapporto tra la [[circonferenza]] e il [[diametro]] di un [[cerchio]]. I [[babilonesi]] usavano per <math>\pi</math> il valore di {{frazione|25|8}}=3,125 (usato anche da [[Marco Vitruvio Pollione|Vitruvio]]<ref name=autogenerato1>''De Architectura'' X, 9, 1, [http://penelope.uchicago.edu/Thayer/L/Roman/Texts/Vitruvius/10*.html in linea] su [[LacusCurtius]].</ref>): una tavoletta cuneiforme del XX secolo a.C., infatti, osserva che il rapporto fra la circonferenza e il perimetro di un esagono iscritto è {{frazione|3600|1152}}, cioè {{frazione|25|8}}. Nel [[Papiro di Rhind]], invece, si dice che un cerchio con diametro 9 unità è equivalente a un quadrato di lato 8. In questo modo gli [[Antico Egitto|Egizi]] assumevano il valore di ({{frazione|16|9}})²=3,160.

Nell'[[Antico Testamento]] viene apparentemente affermato in modo non esplicito che <math>\pi=3</math> = 3. Si trova infatti scritto:

{{Citazione|Egli fece il mare come una gran vasca di bronzo fuso, dieci cubiti da una sponda all'altra: era perfettamente circolare. La sua altezza era cinque cubiti e una linea di trenta cubiti misurava la sua circonferenza|[[Secondo libro delle Cronache]], 4:2}}

Riga 358 ⟶ 386:

Utilizzando poligoni di 96 lati lo scienziato siracusano scoprì che {{frazione|223|71}} < π < {{frazione|22|7}}.<ref>Boyer 1991 p. 149.</ref>

Nel medioevo in [[India]] [[Brahmagupta]] utilizza il valore <math>\sqrt {10}</math><ref>Boyer 1991 p. 256.</ref> mentre in [[Cina]] Zu Chongzhi utilizza {{frazione|355|113}} valore che si discosta meno di 0,3 milionesimi dal valore corretto.<ref name = "pi greco cina">

{{Cita libro|titolo=The development of mathematics in China and Japan|autore=Yoshio Mikami|lingua=en|url=https://books.google.it/books?id=4e9LAAAAMAAJ&q=intitle:Development+intitle:%22China+and+Japan+22+355&dq=intitle:Development+intitle:22China+and+Japan%22+355&lr=&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&ei=84EbSrD1E4OYlQSwv4HlCQ&pgis=1&redir_esc=y |editore= B. G. Teubner|anno=1913|p= 50|accesso=13 luglio 2024|urlmorto= no|postscript=}}</ref>

Riga 366 ⟶ 394:

[[formula di Viète]]:

:<math>2

:<math>2\frac {2}{\sqrt2}\frac {2}{\sqrt {2+\sqrt2}}\frac {2}{\sqrt {2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\ldots = \pi;</math>

\frac {2}{\sqrt2}

\frac {2}{\sqrt {2+\sqrt2}}

\frac {2}{\sqrt {2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\ldots = \pi;</math>

[[Formula di Leibniz per pi|formula di Leibniz]]:

:<math> \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4};</math>

:<math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4};</math>

[[prodotto di Wallis]]:

:<math> \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}.</math>

:<math>\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}.</math>

Nel [[XVIII secolo]] [[Eulero]], risolvendo il [[problema di Basilea]] trovò un'altra elegante serie:

:<math> \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.</math>

Sempre al matematico svizzero è dovuta l'[[identità di Eulero]], talvolta considerata la formula matematica più bella che esista<ref name="Identità Eulero">Definita la più bella formula della matematica da [[Richard Feynman]] ({{Cita libro|nome=Richard|cognome=Feynman|titolo=[[The Feynman Lectures on Physics]]: Volume I|anno=1970|pagina=10|capitolo=Chapter 22: Algebra|mese=giugno}}). Nel 1988, i lettori del ''[[Mathematical Intelligencer]]'' la votarono come "La più bella formula matematica di sempre" ''{{Cita pubblicazione|nome=David|cognome=Wells|anno=1990|titolo=Are these the most beautiful?|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_summer-1990_12_3/page/37|rivista=Mathematical Intelligencer|volume=12|numero=3|pp=37–4137-41|doi=10.1007/BF03024015}}<br />{{Cita pubblicazione|nome=David|cognome=Wells|anno=1988|titolo=Which is the most beautiful?|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_fall-1988_10_4/page/30|rivista=Mathematical Intelligencer|volume=10|numero=4|pp=30–3130-31|doi=10.1007/BF03023741}}''</ref> in quanto collega tra loro le più importanti costanti matematiche: <math>\pi</math>, il [[e (costante matematica)|numero di Nepero]] <math>e</math>, l'[[unità immaginaria]] <math>i</math>, lo [[0 (numero)|0]] e l'[[1 (numero)|1]].

:<math>e^{i \pi} + 1 = 0.</math>

Riga 394 ⟶ 422:

Nel [[1897]] il matematico dilettante J. Goodwin propose nello stato dell'[[Indiana]] un incredibile disegno di legge volto a rendere possibile la quadratura del cerchio tramite il cambiamento del valore di pi greco.<ref>Il testo del disegno di legge è consultabile sul sito della [[Purdue University]]: [https://web.archive.org/web/20030212125353/http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm The Indiana Pi Bill]</ref> Il disegno prevedeva l'introduzione di una ''"nuova verità matematica"'' giacché ''"la regola ora in uso ... non funziona"'' ed ''"è opportuno che essa venga rifiutata come insufficiente e ingannevole per le applicazioni pratiche"''. La stravagante proposta di legge fu approvata all'unanimità dai 67 membri della Commissione per l'educazione. La proposta di legge fu affondata solo dopo il parere negativo del matematico Clarence Waldo, presente casualmente in [[Senato]].

Ecco una breve cronologia essenziale della determinazione del valore di ''π''<math>\pi</math>:

=== Nell'antichità ===

* [[XX secolo a.C.]]: i [[Babilonesi]] usano {{frazione|25|8}} per <math>\pi</math> (uguale a 3,125).

* [[XVII secolo a.C.]]: gli [[Antico Egitto|Egizi]] ([[Papiro di Rhind]]) usano ''π'' = ({{frazione|16|9}})² = 3,1605.

* [[XII secolo a.C.]]: i [[Han|Cinesi]] usano 3 per <math>\pi</math>.

* [[434 a.C.]]: [[Anassagora]] tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso.

* [[430 a.C.]]: [[Antifonte|Antifonte il sofista]] e [[Brisone di Eraclea]] esprimono il [[metodo di esaustione|principio di esaustione]].

* [[335 a.C.]]: [[Dinostrato]] usa la quadratrice per [[Quadratura del cerchio|quadrare il cerchio]].

* [[III secolo a.C.]]: [[Archimede]], utilizzando l'esaustione e il [[metodo di compressione]], calcola su [[poligono|poligoni]] di 96 lati che {{frazione|223|71}} < ''π'' < {{frazione|22|7}}<ref>[https://it.wikibooks.org/wiki/Dimostrazione_che_22/7_%C3%A8_maggiore_di_%CF%80 Dimostrazione che {{frazione|22|7}} è maggiore di π]</ref> e trova inoltre l'approssimazione ''π'' = {{frazione|211875|67441}} = 3,14163…

* [[I secolo a.C.]]: [[Marco Vitruvio Pollione|Vitruvio]] usa {{frazione|25|8}}<ref name=autogenerato1 />.

* [[II secolo|II secolo d.C.]]: [[Claudio Tolomeo|Tolomeo]] usa ''π'' = {{frazione|377|120}} = 3,14166…<ref>La frazione {{frazione|377|120}} approssima il rapporto fra la circonferenza e il diametro di un cerchio di raggio 60, laddove il 60 coincide con la base dei numeri sessagesimali utilizzati da Tolomeo nell'Almagesto.</ref>.

* [[III secolo|III secolo d.C.]]: [[Chang Hong]] usa ''π'' = <math>\pi=\sqrt{10}</math>, [[Wang Fau]] usa ''π'' = {{frazione|142|45}} e [[Liu Hui]] usa ''π'' = {{frazione|157|50}}.

=== Nel Medioevo ===

* [[V secolo]] (450 circa): [[Zu Chongzhi]] scopre che 3,1415926 < ''π'' < 3,1415927 e utilizza il valore {{frazione|355|113}} = 3,1415929….

* [[VI secolo]] (530 circa): [[Aryabhata]], in India, utilizza il valore {{frazione|62832|20000}}=3,1416.

* [[VII secolo]] (650 circa): [[Brahmagupta]], in India, utilizza il valore <math>\sqrt{10}</math>=3,1623</math>.

* [[IX secolo]]: [[Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī|al Khwarizmi]] usa 3,1416.

* [[1220]]: [[Leonardo Fibonacci]] usa il valore 3,141818.

* [[1430]]: [[Al-Kashi|al Kashi]] calcola le prime 14 cifre di <math>\pi</math>.

=== Nell'età moderna ===

* [[1573]]: [[Valenthus Otho]] calcola le prime 6 cifre di <math>\pi</math>.

* [[1593]]: [[François Viète]] calcola 9 cifre di <math>\pi</math> e [[Adriaan van Roomen]] 16 cifre.

* [[1596]]: [[Ludolph van Ceulen]] calcola 20 cifre di <math>\pi</math>.

* [[1610]]: van Ceulen, 35 cifre.

* [[1621]]: [[Willebrord Snel|Willebrord Snell]] perfeziona il metodo di [[Archimede]].

* [[1654]]: [[Christiaan Huygens]] dimostra la validità del perfezionamento di Snell.

* [[1655]]: [[John Wallis]] trova un prodotto infinito razionale per <math>\pi</math>; [[William Brouncker]] lo converte in una frazione continua.

* [[1663]]: [[Muramatsu Shigekiyo]] in [[Giappone]] trova 7 cifre decimali esatte.

* [[1665]]: [[Isaac Newton]] scopre il [[calcolo infinitesimale]] e calcola il <math>\pi</math> fino alla 16ª cifra decimale.

* [[1671]]: [[James Gregory (astronomo)|James Gregory]] scopre le serie delle arcotangenti.

* [[1674]]: [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]] scopre la serie delle arcotangenti per <math>\pi</math>.

* [[1699]]: [[Abraham Sharp]], 72 cifre.

* [[1700]]: [[Kōwa Seki]] in [[Giappone]] calcola 10 cifre.

* [[1706]]: [[John Machin]], 100 cifre.

* [[1713]]: La [[Corte Cinese]] pubblica il [[Su-li Ching-yun]] e presenta le prime 19 cifre decimali di <math>\pi</math>.

* [[1719]]: [[Thomas Fantet de Lagny]] calcola 127 cifre, di cui 112 sono corrette.

* [[1723]]: [[Takebe Kenko]] in [[Giappone]] calcola 41 cifre.

* [[1730]]: Kamata in [[Giappone]] calcola 25 cifre.

* [[1734]]: Adottato da [[Eulero]], l'uso del simbolo <math>\pi</math> si diffonde.

* [[1739]]: Matsunaga, 50 cifre.

* [[1748]]: [[Eulero]] pubblica l'[[Introductio in analysis infinitorium]] contenente il cosiddetto [[Teorema di Eulero (geometria)|Teorema di Eulero]] e molte serie per <math>\pi</math> e <math>\pi^2</math>.

* [[1761]]: [[Johann Heinrich Lambert]] prova che <math>\pi</math> è un [[numero irrazionale]].

* [[1775]]: [[Eulero]] deriva una serie di arcotangenti rapidamente convergenti e ipotizza che <math>\pi</math> possa essere [[numero trascendente|trascendente]].

=== Nell'età contemporanea ===

(dati aggiornati all'agosto 20242025)

* [[1794]] – [[Jurij Vega]], 140 cifre, di cui 136 sono corrette.

* 1794 – [[Adrien-Marie Legendre]] dimostra che <math>\pi^2</math> (e quindi <math>\pi</math>) è irrazionale e considera la possibilità che <math>\pi</math> sia trascendente.

* [[1841]] – [[William Rutherford]] calcola 208 cifre, di cui 152 sono corrette.

* [[1844]] – [[Zacharias Dase]] calcola 200 cifre.

* [[1847]] – [[Thomas Clausen]], 248 cifre.

* [[1853]] – [[Erich Leo Lehmann|Lehmann]], 261 cifre.

* 1853 – [[William Rutherford]], 440 cifre.

* [[1855]] – Richter, 500 cifre.

* [[1874]] – [[William Shanks]], 707 cifre, ma solo 527 sono corrette.

* 1874 – [[Tseng Chi-hung]] calcola in [[Cina]] 100 cifre.

* [[1882]] – [[Ferdinand von Lindemann]] dimostra che <math>\pi</math> è trascendente.

* [[1947]] - [[D. F. Ferguson]]: 620 cifre decimali, utilizzando una calcolatrice da tavolo.

* gennaio [[1947]] - [[D. F. Ferguson]]: 620710 cifre decimali, utilizzando una (calcolatrice da tavolo).

* gennaiosettembre [[1947]] -– [[D. F. Ferguson]]: 710808 cifre decimali (calcolatrice da tavolo).

* settembre [[1947]] – [[D. F. Ferguson]]: 808 cifre decimali (calcolatrice da tavolo)

* [[1949]] – [[George Rietwiesner]], [[John von Neumann]] e [[Nicholas Constantine Metropolis]]: 2037 cifre calcolate in 70 ore utilizzando l'[[ENIAC]]. Da questo momento in poi tutti i calcoli delle cifre di pi greco verranno effettuati utilizzando calcolatori elettronici.

* [[1954]] – La [[United States Navy|marina statunitense]] calcolò 3089 cifre in 13 minuti alla presentazione del [[IBM NORC|NORC]], il supercomputer commissionato alla [[IBM]].

* [[1958]] – "Paris Data Processing Center": {{formatnum:10000}} cifre calcolate in un'ora e 40 minuti utilizzando un [[IBM 704]].

* [[1961]] – John Wrench e Daniel Shanks (nessuna parentela con William Shanks): {{formatnum:100265}} cifre in 8 ore e 43 minuti, con un IBM 7090.

* [[1966]] – "Paris Data Processing Center": {{formatnum:250000}} cifre di pi greco con un [[IBM 7030 Stretch]].

* [[1967]] – "Paris Data Processing Center": {{formatnum:500000}} cifre con un computer [[CDC 6600]].

* [[1973]] – [[Jean Guilloud]] e [[M. Bouyer]]: {{formatnum:1000000}} di cifre calcolate in 23 ore e 18 minuti con il computer [[CDC 7600]].

* [[1976]] – [[Eugene Salamin]] e [[Richard Brent]] svilupparono indipendentemente un algoritmo quadraticamente convergente per il calcolo del <math>\pi</math>, algoritmo che poi risultò molto simile a quello per la valutazione degli integrali ellittici di [[Carl Friedrich Gauss]].

* [[1982]] – [[Tamura Yoshiaki|Yoshiaki Tamura]] e [[Yasumasa Kanada]]: {{formatnum:8388608}} cifre in meno di 30 ore con l'[[Algoritmo di Gauss-Legendre|algoritmo di Gauss-Brent-Salamin]], con un Hitachi M-280H.

* [[1988]] – [[Yasumasa Kanada]]: {{formatnum:201326000}} cifre calcolate in 6 ore utilizzando un [[Hitachi S-820]].

* maggio [[1989]] – i fratelli [[Fratelli Čudnovskij|David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky]]: {{formatnum:480000000}} di cifre.

* giugno 1989 – [[Fratelli Čudnovskij|David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky]]: {{formatnum:535339270}} di cifre.

* luglio 1989 – [[Yasumasa Kanada]]: {{formatnum:536870898}} di cifre.

* agosto 1989 – [[Fratelli Čudnovskij|David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky]]: {{formatnum:1011196691}} di cifre (oltre 1 miliardo), su un [[IBM 3090]].

* 19 novembre 1989 – [[Yasumasa Kanada]] e Yoskiaki Tamura: {{formatnum:1073740799}} di cifre (1,07 miliardi), [[HITAC S-3000|HITAC S-3800/480]].

* 18 maggio [[1994]] – [[Fratelli Čudnovskij|David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky]]: {{formatnum:4044000000}} di cifre (oltre 4 miliardi), utilizzando un computer domestico. Dettagli sconosciuti, record non verificato.

* 26 giugno [[1994]] – [[Yasumasa Kanada]] e Daisuke Takahashi: {{formatnum:3221220000}} di cifre (3,22 miliardi).<ref>[ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_3b file ftp]</ref>

* 11 ottobre [[1995]] – [[Yasumasa Kanada]] e Daisuke Takahashi: {{formatnum:6442450000}} di cifre (6,44 miliardi).<ref>[ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_6b file ftp]</ref>

* [[1997]] – [[Yasumasa Kanada]] e Yoshiaki Tamura: {{formatnum:51539607552}} di cifre (51,5 miliardi) calcolate in poco più di 29 ore utilizzando un computer Hitachi SR2201.<ref>[ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_51b file ftp]</ref>

* 5 aprile [[1999]] – [[Yasumasa Kanada]] e Daisuke Takahashi: {{formatnum:68719470000}} di cifre (68,72 miliardi).<ref>[ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_68b file ftp]</ref>

* 20 settembre [[1999]] - [[Yasumasa Kanada]] e Daisuke Takahaski: {{formatnum:206158430000}} di cifre (206,16 miliardi).<ref>[ftp://pi.super-computing.org/README.our_latest_record_206b file ftp]</ref>

* [[2002]] – [[Yasumasa Kanada]]: 1241,1 miliardi di cifre calcolate in 600 ore (25 giorni) con un Hitachi SR8000/MPP a 128 [[nodo (informatica)|nodi]].<ref>{{Cita web |url=http://www.hitachi.co.jp/Prod/comp/hpc/eng/sr81e.html |titolo=SR8000<!-- Titolo generato automaticamente --> |accesso=30 ottobre 2010 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20110520164429/http://www.hitachi.co.jp/Prod/comp/hpc/eng/sr81e.html |dataarchivio=20 maggio 2011 |urlmorto=sì }}</ref>.

* 29 aprile [[2009]] – [[Daisuke Takahashi]]: {{formatnum:2576980377524}} di cifre ({{formatnum:2576}} miliardi) in 29,09 ore con un Supercomputer [[T2K Open]] a 640 [[nodo (informatica)|nodi]] (velocità di ogni nodo: 147,2 [[FLOPS|GigaFLOPS]]), all'Università di Tsukuba a [[Tsukuba]], in [[Giappone]].<ref>{{cita web |url=http://www.hpcs.is.tsukuba.ac.jp/~daisuke/pi.html |titolo=Copia archiviata |accesso=18 agosto 2009 |urlmorto=sì |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20090823020534/http://www.hpcs.is.tsukuba.ac.jp/~daisuke/pi.html |dataarchivio=23 agosto 2009 }}</ref>

* 31 dicembre [[2009]] – [[Fabrice Bellard]]: {{formatnum:2699999990000}}<ref>{{Cita web|url=https://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf|titolo=Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer|autore=Fabrice Bellard|data=11 febbraio 2010|lingua=en|formato=pdf |accesso=13 luglio 2024|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20200815035853/https://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf|dataarchivio=15 agosto 2020|urlmorto=no}}</ref> di cifre (quasi 3000 miliardi) in 121 giorni di calcolo totali, utilizzando un computer domestico dotato di CPU [[Intel]] [[Core i7]] da 2,97 [[Hertz|GHz]], 6 GB di RAM e 7,5 TB di memoria fissa composta da 5 [[Disco rigido|hard disk]] Seagate Barracuda da 1,5 TB l'uno. Il calcolo è stato effettuato sfruttando l'[[Fratelli Chudnovsky#L'algoritmo di Chudnovsky|algoritmo di Chudnovsky]].

* 2 agosto [[2010]] – Shigeru Kondo: {{formatnum:5000000000000}}<ref>[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/announce_en.html Pi - 5 Trillion Digits<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref> di cifre ({{formatnum:5000}} miliardi) in 90 giorni di calcolo totali, utilizzando un computer domestico modificato, provvisto di 2 processori Intel Xeon X5680 da 3.33&nbsp;GHz (12 core fisici, 24 con [[Hyper-Threading|hyperthreading]]) e 96 GB di RAM DDR3 a 1066&nbsp;MHz ottenuta unendo 12 banchi di RAM da 8 GB; per ottenere il risultato ha sfruttato l'applicazione y-cruncher<ref>[http://www.numberworld.org/y-cruncher/ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>, sviluppata da Alexander Yee, su un [[sistema operativo|OS]] [[Microsoft]] [[Windows Server 2008]].

* 29 gennaio [[2020]] – Lo statunitense Timothy Mullican calcola {{formatnum:50000}} miliardi di cifre, impiegando 303 giorni per effettuare il calcolo tramite vari [[computer]] e [[server]].<ref> {{en}} [https://blog.timothymullican.com/calculating-pi-my-attempt-breaking-pi-record ''Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record'']</ref>

* 14 agosto [[2021]] – Un gruppo di ricercatori svizzeri dell'università di scienze applicate del [[cantone dei Grigioni]] ha annunciato che grazie ad un supercomputer ha calcolato 62800 miliardi di cifre in 108 giorni e 9 ore.<ref>{{Cita web|url=https://www.ansa.it/canale_scienza_tecnica/notizie/fisica_matematica/2021/08/17/nuovo-record-per-pi-greco-62.800-miliardi-di-cifre_10f1c770-2177-44d0-8ef7-9163e887e9a1.html|titolo=Nuovo record per il Pi Greco, 62.800 miliardi di cifre|accesso=30 ottobre 2022}}</ref>

* 21 marzo [[2022]] - Emma Haruka Iwao dei Google Labs ha calcolato {{formatnum:100000}} miliardi di cifre in 158 giorni, usando y-cruncher.<ref>{{cita web|url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-100-trillion-digits-of-pi-on-google-cloud/|titolo=Even more pi in the sky: Calculating 100 trillion digits of pi on Google Cloud|data=9 giugno 2022| autore=Emma Haruka Iwao|accesso=18 agosto 2024}}</ref>

* 14 marzo [[2023]] - Jordan Ranous, Kevin O’Brien e Brian Beeler annunciano di aver calcolato {{formatnum:105000}} miliardi di cifre in 75 giorni, usando y-cruncher.<ref>{{cita web|url=https://www.storagereview.com/review/storagereview-calculated-100-trillion-digits-of-pi-in-54-days-besting-google-cloud|titolo=105 Trillion Pi Digits: The Journey to a New Pi Calculation Record|data=13 marzo 2023|autore=Jordan Ranous|accesso=18 agosto 2024}}</ref>

* 28 giugno [[2024]] - Jordan Ranous, Kevin O’Brien e Brian Beeler annunciano di aver calcolato {{formatnum:202112290000000}} cifre in 104 giorni, usando y-cruncher.<ref>{{cita web|url=https://www.storagereview.com/news/storagereview-lab-breaks-pi-calculation-world-record-with-over-202-trillion-digits|titolo=StorageReview Lab Breaks Pi Calculation World Record with Over 202 Trillion Digits|data=28 giugno 2024|autore=Jordan Ranous|accesso=18 agosto 2024}}</ref>

* 2 aprile [[2025]] - Linus Media Group, [[Kioxia]]: {{formatnum:300000000000000}} cifre, usando y-cruncher<ref>{{Cita web|titolo=Most accurate value of pi |url=https://www.guinnessworldrecords.com/world-records/66179-most-accurate-value-of-pi |accesso=2025-09-08 |sito=Guinness World Records}}</ref>

== Questioni in sospeso ==

La più pressante questione aperta su <math>\pi</math> riguarda il fatto che sia o meno [[numero normale|normale]], cioè se la frequenza con cui è presente ogni sequenza di cifre sia la stessa che ci si aspetterebbe se le cifre fossero completamente casuali. Questo deve essere vero in ogni base, non solo in base 10.<ref>{{Cita web|url=http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html|titolo=Normal Number|nome=Eric W|cognome=Weisstein|wkautore=Eric W. Weisstein|editore=[[MathWorld]]|data=22 dicembre 2005|accesso=10 novembre 2007}}</ref> Non sappiamo molto su questo; per esempio, non sappiamo nemmeno quali delle cifre 0, …, 9 ricorrano infinite volte nello sviluppo decimale di <math>\pi</math>,<ref>{{Cita news|url=https://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|titolo=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|nome=Paul|cognome=Preuss|linkautore=Paul Preuss|editore=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]]|data=23 luglio 2001|accesso=10 novembre 2007|dataarchivio=20 ottobre 2007|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|urlmorto=sì}}</ref> benché sia chiaro che almeno due cifre devono ricorrere infinite volte, poiché in caso contrario <math>\pi</math> sarebbe razionale, mentre non lo è.

Bailey e Crandall dimostrarono nel [[2000]] che l'esistenza della sopramenzionata formula Bailey-Borwein-Plouffe e formule simili implica che la normalità in base <math>2</math> di <math>\pi</math> si deduce da una plausibile [[congettura]] della [[teoria del caos]].<ref>{{Cita news|url=https://www.sciencenews.org/articles/20010901/bob9.asp|titolo=Pi à la Mode: Mathematicians tackle the seeming randomness of pi's digits|nome=Ivars|cognome=Peterson|linkautore=Ivars Peterson|pubblicazione=Science News Online|data=1º settembre 2001|accesso=10 novembre 2007|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20071021094921/http://www.sciencenews.org/articles/20010901/bob9.asp|dataarchivio=21 ottobre 2007|urlmorto=sì}}</ref>

Non si sa neanche se <math>\pi</math> e il [[E (costante matematica)|numero di Nepero]] <math>e</math> siano [[Indipendenza algebrica|algebricamente indipendenti]], sebbene Yuri Valentinovich Nesterenko abbia dimostrato l'indipendenza algebrica di {π, [[Costante di Gel'fond|''e''^π]], [[Funzione Gamma|Γ]](1/4)} nel 1996.<ref>{{Cita pubblicazione|autore=Nesterenko, Yuri V|linkautore=Yuri Valentinovich Nesterenko|titolo=Modular Functions and Transcendence Problems|rivista=[[Comptes rendus de l'Académie des sciences]] Série 1|volume=322|numero=10|pp=909–914909-914|anno=1996}}</ref>

== La natura di Pi greco ==

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Nel 1897, negli [[Stati Uniti d'America]], fu presentato all'Assemblea generale dello stato dell'[[Indiana]] un disegno di legge,<ref>[http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm The Indiana House Bill No. 246, 1897]</ref> redatto dal matematico e fisico dilettante Edward (o Edwin) J. Goodwin, in cui l'autore si presentava come solutore dei problemi di [[trisezione dell'angolo]], [[duplicazione del cubo]] e [[quadratura del cerchio]] (la cui impossibilità di soluzione era, all'epoca, già ampiamente dimostrata) e offriva alle scuole dello stato l'uso gratuito della sua "nuova verità matematica", da lui brevettata. Il testo non menzionava specificamente <math>\pi</math>, ma dalle affermazioni in esso presenti potevano esserne dedotti diversi valori, tra loro contraddittori, tra cui quello di 3,2.

Il progetto superò varie fasi dell'iter legislativo, ma fu infine abbandonato quando venne presentato al Senato per la definitiva approvazione; il professor Clarence Abiathar Waldo, matematico e membro dell'Accademia delle scienze dell'Indiana, riportò in seguito<ref>{{cita web|url=https://www.biodiversitylibrary.org/page/14641808#page/455/|titolo=What might have been|pubblicazione=Proceedings of the Indiana Academy of Science|ppp=455-456}}</ref> di essere stato casualmente presente al Senato il giorno in cui il progetto di legge doveva essere discusso, e di aver "opportunamente istruito" al riguardo i senatori prima della discussione.

== Influenze culturali ==

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== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore=Egidio Battistini|titolo=In viaggio con &pi;|editore=Franco Angeli|anno=2016|città=Milano|isbn=9788891728005|postscript=nessuno}}

* {{cita libro|autore=Petr Beckmann, ''|titolo=A History of π''|url=https://archive. org/details/historyofpipi0000beck_g8t1|editore=St. Martin's Press; |anno=1971|isbn=9780312381851|postscript=nessuno}}

* {{cita libro|autore=Lennart Berggren|autore2=Jonathan M. Borwein|autore3=Peter B. Borwein|città=New York|titolo=Pi: A Source Book|edizione=3|anno=2004|editore=Springer|isbn= 9780387205717|postscript=nessuno}}

* {{cita libro|autore=David Blatner, |titolo=''Le gioie del π'', |editore=Garzanti, [[|anno=1999|città=Milano]], 1999|isbn=9788811592884|postscript=nessuno}}

* {{cita libro|autore=Anna Maria Cerasoli|wkautore=Anna Maria Cerasoli|titolo=Tutti in festa con pi greco|editore=Editoriale Scienza|città=Firenze-Tireste|anno=2021|edizione=2|isbn=9788893931052|postscript=nessuno}}

* [[{{cita libro|autore=Jean-Paul Delahaye]], ''|titolo=L'affascinante numero π'', |editore=Ghisetti e Corvi Editori, [[|città=Milano]], |anno=2003, ISBN 88-8013-905-3|isbn=8880139053|postscript=nessuno}}

* {{cita libro|autore=Pietro Greco|wkautore=Pietro Greco|titolo=Storia di &pi; greco|città=Roma|editore=Carocci|anno=2018|isbn=9788843091430|postscript=nessuno}}

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* {{Collegamenti esterni}}

=== Siti sulla storia di π ===

* {{cita web|httphttps://www-history.mcsmathshistory.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html/|J J O'Connor e E F Robertson: ''A history of Pi''. Mac Tutor project|postscript=nessuno}}

* {{cita web|http://mathforum.org/isaac/problems/pi1.html|Alla ricerca del valore di Pi|postscript=nessuno}}

* [[PlanetMath]]: [http://planetmath.org/encyclopedia/Pi.html Pi] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100124221705/http://planetmath.org/encyclopedia/Pi.html |date=24 gennaio 2010 }}