Coefficiente multinomiale: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|febbraio 2013}}

Il '''coefficiente multinomiale''' è un'estensione del [[coefficiente binomiale]].

Per un numero intero non negativoSiano <math>nk_1,...,k_r</math> edei unnumeri [[vettoreinteri (matematica)|vettore]]positivi intero non negativocon <math>\mathbfk_1+...+k_r k</math>= di [[norma (matematica)|norma]] uno (<math>\|\mathbf k\|_1</math>) uguale a <math>n</math>,. ilIl coefficiente multinomiale è definito come

:[https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Coefficiente_multinomiale&veaction=edit Modifica]<math>{n \choose \mathbf kk_1,...,k_r} := \frac{n!}{\prod_{i=1}^{r} k_i!},</math>

dove <math>{\prod_{i=1}^r }</math> è il simbolo della [[produttoria]]. Il coefficiente multinomiale è sempre un [[numero naturale]].<ref>{{Cita libro|autore=Martin Aigner|titolo=Combinatorial Theory|collana=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol 234|anno=1979|editore=Springer}}</ref>

ed è sempre un [[numero naturale]].

( <math>{\prod_{i=1}^r }</math> è il simbolo della [[produttoria]]).

==Teorema multinomiale==

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dove <math>\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}</math> indica la [[sommatoria]] di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a <math>n</math>.

In particolare, per <math>x_1=...=x_r=1</math> si ottiene:

:<math>r^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r \frac{1}{k_i!}}</math>.

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della [[notazione multi-indice]] e della [[contrazione tensoriale]]:

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e:

:<math>\mathbf{x}^{\mathbf k} = (x_{1}^{k_{1}}, x_{2}^{k_{2}}, \ldots, x_{r}^{k_{r}}) \in \R^r.</math>

:

== Applicazioni ==

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi <math>n</math> oggetti in <math>r</math> scatole distinte, tali che <math>k_1</math> oggetti stiano nella prima scatola, <math>k_2</math> nella seconda, e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle [[Permutazione|permutazioni]] di <math>n</math> oggetti, di cui <math>k_1</math> uguali tra loro, <math>k_2</math> uguali tra loro e così via, potendodove uni qualsiasivalori <math>k_i</math> esseresono ugualenumeri naturali uguali o maggiori a <math>1</math>, eche avendosisoddisfano cosìquindi <math>\sum_{i=1}^r k_i=n</math>.

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della [[variabile casuale multinomiale]], una [[variabile casuale discreta]], generalizzazione della variabile casuale [[Distribuzione binomiale|binomiale]]. Notiamo <math>\mathrm X = (\mathrm X_1,...,\mathrm X_r)</math> una variabile casuale che segue la legge multinomiale di parametri <math>\left( (p_1,...,p_r),n \right)</math>, dove i valori <math>p_i</math> sono dei numeri positivi tali che <math>p_1+...+p_r=1</math>. Immaginamo di lanciare <math>n</math> volte un dado a <math>r</math> facce distinte, di cui la <math>i</math>-esima faccia ha probabilità <math>p_i</math> di apparire, allora <math>\mathrm X_i</math> è il numero di volte che la <math>i</math>-esima faccia è apparsa (per ogni <math>i \in \{1,...,r\}</math>). In particolare <math>\mathrm X</math> prende i valori <math>(k_1,...,k_r)</math> con probabilità

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della [[variabile casuale multinomiale]]:

:<math>\mathbb{P}\left(\mathbfmathrm xX=\mathbf k(k_1,...,k_r) \right)={n \choose \mathbf kk_1,...,k_r}\cdot \prod_{i=1}^r p_i^{k_i},.</math>

una [[variabile casuale discreta]].

Per <math> x_i </math> = 1 si ha:

:<math>r^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r \frac{1}{k_i!}}</math>.

== Esempio ==

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== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

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