Coefficiente multinomiale: differenze tra le versioni

Versione delle 19:16, 10 feb 2012

Versione delle 12:29, 23 giu 2012

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Il '''coefficiente multinomiale''' è un'estensione del [[coefficiente binomiale]].

Per numeriun interinumero intero non negativinegativo <math>n,</math> <math>k_1</math>,e un [[vettore]] intero non negativo <math>...</math>,\mathbf <math>k_rk</math> con <math>k_1+...+k_r\sum_{i=1}^r k_i=n</math>, il coefficiente multinomiale è definito come

:<math>{n \choose k_1, \dots ,mathbf k_rk} := \frac{n!}{k_1!\cdot \dots \cdotprod_{i=1}^r k_rk_i!}

</math>

Riga 11:

Come generalizzazione del [[teorema binomiale]] vale il cosiddetto teorema multinomiale:

:<math>(x_1+\ldots+x_r)^n =\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n\choose k_1,\ldots,k_r}\cdot x_1^\prod_{k_1i=1}\cdots^r x_rx_i^{k_rk_i}.</math>

ovvero

:<math>(x_1+\ldots+x_rsum_{i=1}^r x_i)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r \frac{x_i^{k_i}\cdot\frac{1}{k_i!}}</math>

dove <math>\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}</math> indica la [[sommatoria]] di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a <math>n</math>.

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della [[notazione multi-indice]] e della [[contrazione tensoriale]]:

:<math> (x_1+\ldots+x_rsum_{i=1}^r x_i)^n= \sum_{|\alpha|k=n}^{}{\frac{n!}{\alphamathbf k!} \, \mathbf{x}^{\alpha}} </math>

con:

:<math>| \alpha |k = \alpha_sum_{i=1}^r + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{r}k_i</math>

:<math>\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{r}) \in \mathbb{R}^r</math>

:<math>\mathbf{x}^\alphak = x_{1}^{\alpha_k_{1}} x_{2}^{\alpha_k_{2}} \ldots x_{r}^{\alpha_k_{r}}</math>

== Applicazioni ==

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Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della [[variabile casuale multinomiale]]:

:<math>P(X_1=k_1,\, X_2=k_2,\,\dots\, , X_r=k_r) \;=\; {n \choose k_1, \dotsmathbf , k_rk}\cdot p_1^\prod_{k_1i=1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdotr p_rp_i^{k_rk_i},</math>

</math>

una [[variabile casuale discreta]].

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== Esempio ==

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco [[Skat (gioco di carte)|skat]]).

Quanti sono questi modi? La risposta si trova nel coefficiente multinomiale:

:<math>{32 \choose 10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.504.640