Coefficiente multinomiale

Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per numeri interi non negativi ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle k_{1}}$, ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle k_{r}}$ con ${\displaystyle k_{1}+...+k_{r}=n}$, il coefficiente multinomiale è definito come

${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{r}}:={\frac {n!}{k_{1}!\cdot \dots \cdot k_{r}!}}}$

ed è sempre un numero naturale.

Teorema multinomiale

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{r}^{k_{r}}.}$ 

ovvero

${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}}\cdot {\frac {1}{k_{i}!}}}}$ 

dove ${\displaystyle \sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}}$  indica la sommatoria di tutte le possibili ennuple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a ${\displaystyle n}$ .

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice:

${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}^{}{{\frac {n!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}$ 

con

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}}$ 

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ 

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$ 

Applicazioni

Il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di n oggetti, di cui ${\displaystyle k_{1}}$  uguali tra loro, ${\displaystyle k_{2}}$  uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi ${\displaystyle k_{i}}$  essere uguale a 1, e avendosi così ${\displaystyle k_{1}}$  + ${\displaystyle k_{2}}$  + ... + ${\displaystyle k_{r}}$  = n.

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:

${\displaystyle P(X_{1}=k_{1},\,X_{2}=k_{2},\,\dots \,,X_{r}=k_{r})\;=\;{n \choose k_{1},\dots ,k_{r}}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdot ...\cdot p_{r}^{k_{r}},}$ 

una variabile casuale discreta.

Esempio

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi? La risposta si trova nel coefficiente multinomiale:

${\displaystyle {32 \choose 10,\,10,\,10,\,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640}$ 

Voci correlate

• Calcolo combinatorio
• Coefficiente binomiale
• Probabilità
• Teorema binomiale
• Variabile casuale multinomiale

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