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In matematica, la regola di Ruffini permette di dividere velocemente un qualunque polinomio per un binomio di primo grado della forma x − a. È stata descritta da Paolo Ruffini nel 1809. La regola di Ruffini è un caso speciale della divisione polinomiale quando il divisore è un fattore lineare. La regola di Ruffini è anche nota come divisione sintetica.

L'algoritmo

La regola di Ruffini stabilisce un metodo per dividere il polinomio

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ 

per il binomio

${\displaystyle A(x)=x-r\,\!}$ 

per ottenere il polinomio quoziente

${\displaystyle Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}$ 

e un resto R che è zero o un termine costante, visto che deve essere di grado minore rispetto al polinomio divisore.

L'algoritmo non è altro che la divisione polinomiale di P(x) per A(x) scritto in un'altra forma più economica.

Per dividere P(x) per A(x), infatti:

1. Si prendano i coefficienti di P(x) e li si scrivano in ordine. Si scriva quindi r in basso a sinistra, proprio sopra la riga:
   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}$ 
2. Si copi il coefficiente di sinistra (a_n) in basso, subito sotto la riga:
   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\\end{array}}}$ 
3. Si moltiplichi il numero più a destra di quelli sotto la riga per r, e lo si scriva sopra la riga, spostato di un posto a destra:
   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}$ 
4. Si sommi questo valore con quello sopra di lui nella stessa colonna:
   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &&a_{n-1}+b_{n-1}\cdot r&&&\\\end{array}}}$ 
5. Si ripetano i passi 3 e 4 fino al termine dei coefficienti
   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &&\\\hline &&a_{n-1}+b_{n-1}\cdot r&\dots &a_{1}+b_{1}\cdot r&a_{0}+b_{0}\cdot r\\\end{array}}}$ 

I valori scritti nell'ultima riga sono i coefficienti del polinomio risultante Q(x), il cui grado sarà inferiore di uno a quello di P(x). Il numero a₀+b₀ · r è il resto.

Un esempio numerico viene fornito più sotto.

Usi della regola

La regola di Ruffini ha molte applicazioni pratiche; molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostrato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono.

Divisione polinomiale per x − r

Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati.

Siano

${\displaystyle P(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+6}$ 

${\displaystyle A(x)=x+1}$ 

Vogliamo dividere P(x) per A(x) usando la regola di Ruffini. Il primo problema è che A(x) non è della forma x − r, ma piuttosto x + r. Questo è facile da risolvere: basta riscrivere A(x) come

${\displaystyle A(x)=x+1=x-(-1)\,\!}$ 

Applichiamo ora l'algoritmo.

1. Scriviamo i coefficienti di P(x) e r:
   ${\displaystyle {\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}}$ 
2. Copiamo il primo coefficiente sotto:
   ${\displaystyle {\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}}$ 
3. Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga per r:
   ${\displaystyle {\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}}$ 
4. Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale:
   ${\displaystyle {\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&-7&&\\\end{array}}}$ 
5. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine:
   ${\displaystyle {\begin{array}{c| c c c |c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&7&-6\\\hline &+2&-7&+6&0\\\end{array}}}$ 

Insomma, abbiamo che

${\displaystyle P(x)=A(x)*Q(x)+R}$ , dove

${\displaystyle Q(x)=2x^{2}-7x+6}$  e ${\displaystyle R=0}$ .

Divisione polinomiale per ax − k

Applicando una facile trasformazione, la regola di Ruffini si può generalizzare anche per le divisioni di un polinomio per un binomio qualsiasi di primo grado ${\displaystyle A(x)=ax-k}$ . Infatti, considerando la relazione fondamentale

${\displaystyle P(x)=(ax-k)\cdot Q(x)+R(x)}$ 

dividendo tutto per a (sicuramente diverso da 0) otteniamo

${\displaystyle {\frac {P(x)}{a}}={\frac {(ax-k)\cdot Q(x)}{a}}+{\frac {R(x)}{a}}}$ 

Detti ${\displaystyle P(x)/a=P'(x)}$  e ${\displaystyle R(x)/a=R'(x)}$  otteniamo

${\displaystyle P'(x)=(x-{\frac {k}{a}})\cdot Q(x)+R'(x)}$ 

Dunque il quoziente richiesto ${\displaystyle Q(x)}$  è anche il quoziente della divisione di ${\displaystyle P'(x)}$  per ${\displaystyle (x-k/a)}$ , che si può fare con la regola appena esposta. Per trovare il resto richiesto ${\displaystyle R(x)}$  basterà moltiplicare il resto ottenuto ${\displaystyle R'(x)}$  per ${\displaystyle a}$ .

Trovare le radici di un polinomio

Il teorema delle radici razionali afferma che se un polinomio f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ ha coefficienti interi, le sue radici razionali sono sempre della forma p/q, dove p e q sono interi coprimi, p è un divisore (non necessariamente positivo) di a₀ e q un divisore di a_n. Se il nostro polinomio è quindi

${\displaystyle P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2\,\!}$ ,

le radici razionali possibili appartengono all'insieme dei divisori interi di a₀ (−2):

${\displaystyle {\mbox{radici possibili:}}\left\{+1,-1,+2,-2\right\}}$ 

Questo è un esempio semplice, perché il polinomio è monico (cioè, a_n=1); per i polinomi non monici, l'insieme delle possibili radici comprenderà alcune frazioni, ma solo in numero finito, dato che a_n e a₀ hanno ciascuno un numero finito di divisori interi. In ogni caso per i polinomi monici ogni radice razionale è un intero, e quindi ogni radice intera dev'essere un divisore del termine costante. Si può dimostrare che questo resta vero anche per i polinomi non monici: insomma, per trovare le radici intere di un polinomio a coefficienti interi, basta verificare i divisori del termine costante. Infatti, ogni polinomio non monico può essere ricondotto al caso monico, semplicemente dividendo i coefficienti per a_n.

Provando pertanto a porre r pari a ciascuna delle radici possibili, si può provare a dividere il polinomio per (x-r). Se il polinomio quoziente risultante non ha resto, abbiamo trovato una radice.

Si può scegliere uno dei due metodi seguenti: essi danno gli stessi risultati, con l'eccezione che solo il secondo permette di trovare se una radice è ripetuta. (Ricordate che nessuno dei due metodi permette di scoprire radici irrazionali o complesse).

Primo metodo

Cerchiamo di dividere P(x) per il binomio (x − ciascuna possibile radice). Se il resto è 0, il numero utilizzato è una radice (e viceversa): ${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+1&&+1&-3&+2\\\hline &+1&-3&+2&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+1&&-1&+5&-10\\\hline &+1&-5&+10&-12\\\end{array}}}$ 

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+2&&+2&-4&+2\\\hline &+1&-2&+1&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+2&&-2&+12&-34\\\hline &+1&-6&+17&-36\\\end{array}}}$ 

${\displaystyle x_{1}=+1}$ , ${\displaystyle x_{3}=+2}$  sono radici, mentre ${\displaystyle x_{2}=-1}$  e ${\displaystyle x_{4}=-2}$  non lo sono.

Secondo metodo

Iniziamo come nel primo metodo fino a che troviamo una radice. A questo punto, invece che ripartire con le altre radici possibili, si continua a provare, partendo dal polinomio quoziente ottenuto, riusando la radice appena trovata, per vedere se ci sono radici multiple:

    |    +1    -4    +5    -2                      |    +1    -4    +5    -2
    |                                              |
 +1 |          +1    -3    +2                   +2 |          +2    -4    +2
----|---------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    -3    +2   | 0                      |    +1    -2    +1   | 0
    |                     |                        |                     |
 +1 |          +1    -2   |                     +2 |          +2    +0   |
----|---------------------|                    --------------------------|
    |    +1    -2     0                            |    +1     0    +1

${\displaystyle x_{1}=+1}$  è una radice multipla, mentre ${\displaystyle x_{3}=+2}$  è una radice semplice.

Fattorizzazione polinomiale

Dopo avere usato il metodo "p/q" mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici razionali reali di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per fattorizzare parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore lineare (x - r) che divide un polinomio dato corrisponde una radice r, e viceversa.

Quindi, se abbiamo il polinomio:

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,\!}$  ;

e abbiamo trovato come sue radici:

${\displaystyle R=\left\{{\mbox{radici di }}P(x)\in \mathbb {Q} \right\}\,\!}$  ;

consideriamo il prodotto:

${\displaystyle Q(x)=a_{n}{\prod _{r\in R}(x-r)}\,\!}$ .

Per il Teorema fondamentale dell'algebra, Q(x) sarebbe uguale a P(x) se tutte le radici di P(x) fossero razionali. Ma è assai probabile che Q(x) non sia uguale a P(x), dato che P(x) potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente

${\displaystyle S(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}\,\!}$ .

Se S(x) = 1, allora Q(x) = P(x). Altrimenti, S(x) sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di P(x) che non ha radici razionali in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Dunque

${\displaystyle P(x)=Q(x)*S(x)\,\!}$ 

è una fattorizzazione completa di P(x) su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  se S(x) = 1, altrimenti sarà una fattorizzazione completa su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , ma ci saranno altri fattori su ${\displaystyle \mathbb {R} }$  o su ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Primo esempio: nessun resto

Sia

${\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2\,\!}$ 

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di P(x) sono:

${\displaystyle R=\left\{+1,-1,-2\right\}\,\!}$ 

Pertanto, il prodotto di (x − ciascuna radice) è

${\displaystyle Q(x)=1(x-1)(x+1)(x+2)\,\!}$ 

P(x)/Q(x) dà

${\displaystyle S(x)=1\,\!}$ 

E così il polinomio fattorizzato è P(x) = Q(x) * 1 = Q(x):

${\displaystyle P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)\,\!}$ 

Secondo esempio: con resto

Sia

${\displaystyle P(x)=2x^{4}-3x^{3}+x^{2}-2x-8\,\!}$ 

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di P(x) sono:

${\displaystyle R=\left\{-1,+2\right\}\,\!}$ 

Pertanto, il prodotto di (x − ciascuna radice) è

${\displaystyle Q(x)=(x+1)(x-2)\,\!}$ 

P(x)/Q(x) dà

${\displaystyle S(x)=2x^{2}-x+4\,\!}$ 

Dato che ${\displaystyle S(x){\neq }1}$ , il polinomio fattorizzato sui razionali è P(x) = Q(x) * S(x):

${\displaystyle P(x)=(x+1)(x-2)(2x^{2}-x+4)\,\!}$ 

Voci correlate

• Algebra elementare
• Polinomio
• Divisione dei polinomi

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