Coefficiente binomiale

Il coefficiente binomiale è definito da

${\displaystyle C(n;k)={n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}}$

(dove n! è il fattoriale di n) e può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Alla voce Calcolo combinatorio è dimostrato che esso fornisce Il numero delle combinazioni semplici di n elementi di lunghezza k.

Per esempio:

${\displaystyle {5 \choose 3}={\frac {5!}{3!(5-3)!}}={120 \over 12}=10\,}$

è il numero di combinazioni di 5 elementi di lunghezza 3.

Il coefficiente binomiale ha le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}$

Dimostrazione formale

${\displaystyle {n \choose 0}={{n!} \over {0!(n-0)!}}={n! \over n!}=1}$

${\displaystyle {n \choose n}={{n!} \over {n!(n-n)!}}={n! \over n!}=1}$

Dimostrazione combinatoria

Le combinazioni di n elementi di lunghezza 0 o n sono evidentemente una sola: rispettivamente l'insieme vuoto o l'intero insieme di n elementi

• ${\displaystyle {n \choose 1}={n \choose n-1}=n}$

Dimostrazione formale

${\displaystyle {n \choose 1}={{n!} \over {1!(n-1)!}}={{n!} \over {(n-1)![n-(n-1)]!}}={n \choose n-1}=n}$

Dimostrazione combinatoria

Vi sono evidentemente n modi per scegliere un elemento tra n o per tralasciarne uno

• ${\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}}$

Dimostrazione formale

${\displaystyle {n \choose k}={{n!} \over {k!(n-k)!}}={{n!} \over {(n-k)![n-(n-k)]!}}={n \choose n-k}}$

Dimostrazione combinatoria

Le scelte di k elementi sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi degli n-k elementi tralasciati

• ${\displaystyle {n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k}}$ , formula per il binomio di Newton

Dimostrazione formale

${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={{n!} \over {(k+1)!(n-k-1)!}}+{{n!} \over {k!(n-k)!}}}$

considerando il fatto che ${\displaystyle (n-k)!=(n-k)(n-k-1)!}$, ed allo stesso modo ${\displaystyle (k+1)!=(k+1)k!}$ si ha ${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={{n!} \over {(k+1)k!(n-k-1)!}}+{{n!} \over {(n-k)k!(n-k-1)!}}=}$ ${\displaystyle ={(n-k){n!} \over {(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}+{(k+1){n!} \over {(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}}$

e quindi

${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={(n-k+k+1){n!} \over {(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}}}$

${\displaystyle {n \choose k+1}+{n \choose k}={{(n+1)!} \over {(k+1)!(n-k)!}}={n+1 \choose k+1}}$

ovvero la tesi

Dimostrazione combinatoria

Per calcolare il numero di combinazioni semplici di n+1 elementi di lunghezza k+1, scegliamo uno degli n+1 elementi, che chiameremo Pippo, e dividiamo le combinazioni in due classi: quelle che non contengono Pippo e quelle che lo contengono. Le cardinalità delle due classi sono evidentemente date dai due termini del secondo membro della formula che volevamo dimostrare.

• ${\displaystyle 2^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n-1}+{n \choose n}}$

Dimostrazione formale

Partendo dal Teorema binomiale abbiamo:

${\displaystyle 2^{n}a^{n}=(2a)^{n}=(a+a)_{}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}a^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n}}$

Dividendo il primo e l'ultimo termine dell'uguaglianza per ${\displaystyle a^{n}}$ abbiamo che:

${\displaystyle 2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n}}$

---

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}b^{k}}$

Ponendo a = b = 1 si ha:

${\displaystyle (1+1)^{n}=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}1^{(n-k)}1^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}}$

ovvero la tesi.

Dimostrazione combinatoria

${\displaystyle 2^{n}}$ è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di n elementi. Possiamo dividere tali sottoinsiemi in classi, ponendo in ogni classe quelli di una data cardinalità. Poiché i sottoinsiemi di cardinalità k sono proprio ${\displaystyle {n \choose k}}$, si ottiene subito la tesi.

Applicazioni

Il coefficiente binomiale è utilizzato per il calcolo dello sviluppo di un binomio, mediante la formula di Newton, ma soprattutto nel calcolo combinatorio. Per esempio per stabilire quante possibili coppie di rappresentanti di classe si possono avere in una classe di 25 alunni, basta calcolare

${\displaystyle {25 \choose 2}={25! \over 2!(25-2)!}=300\,}$

Ci sono quindi 300 diverse possibilità di abbinamento dei due rappresentanti di classe.

Voci correlate

• Coefficiente multinomiale
• Coefficiente binomiale simmetrico
• Teorema binomiale
• Fattoriale
• Calcolo combinatorio, Combinazione, Permutazione
• Probabilità
• Variabile casuale binomiale
• Statistica

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