Coefficiente binomiale

In matematica, il coefficiente binomiale ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ (che si legge "${\displaystyle n}$ su ${\displaystyle k}$") è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula

${\displaystyle {\binom {n}{k}}=C(n;k)={\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}},\qquad n,k\in \mathbb {N} ,\,0\leq k\leq n,}$

dove ${\displaystyle n!}$ è il fattoriale di ${\displaystyle n}$. Può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di ${\displaystyle n}$ elementi di classe ${\displaystyle k}$.

Per esempio:

${\displaystyle {5 \choose 3}={\frac {5!}{3!(5-3)!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot (2\cdot 1)}}={120 \over 12}=10}$

è il numero di combinazioni di ${\displaystyle 5}$ elementi presi ${\displaystyle 3}$ alla volta, evitando ripetizioni ma indipendentemente dall'ordine di estrazione.

Applicazioni

• Il teorema binomiale, o binomio di Newton, utilizza il coefficiente binomiale per esprimere lo sviluppo di una potenza ${\displaystyle n}$ -esima di un binomio qualsiasi secondo la seguente formula:

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}.}$ 

• Il numero di diagonali di un poligono convesso di ${\displaystyle n}$  lati può essere espresso secondo la seguente formula: ${\displaystyle d={n \choose 2}-n={\frac {n(n-3)}{2}}}$ 
• Dato un insieme ${\displaystyle S}$ , tale che ${\displaystyle |S|=n}$ , si utilizza il coefficiente binomiale per calcolare la cardinalità dell'insieme delle parti di ${\displaystyle S}$ , ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ :

${\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}.}$ 

• La potenza ${\displaystyle n}$ -esima di un numero intero ${\displaystyle x}$  può essere espressa con la sommatoria di tutte le possibili produttorie di ${\displaystyle x-1}$  coefficienti binomiali ${\displaystyle {n \choose a}{a \choose b}{b \choose c}\ldots {i \choose j}{j \choose k}{k \choose l}}$ , con ${\displaystyle n\geq a\geq b\geq c\geq \ldots \geq i\geq j\geq k\geq l\geq 0}$ . Esempio:

${\displaystyle 4^{3}={3 \choose 3}{3 \choose 3}{3 \choose 3}+{3 \choose 3}{3 \choose 3}{3 \choose 2}+{3 \choose 3}{3 \choose 3}{3 \choose 1}+{3 \choose 3}{3 \choose 3}{3 \choose 0}+{3 \choose 3}{3 \choose 2}{2 \choose 2}+\ldots +{3 \choose 1}{1 \choose 1}{1 \choose 0}+{3 \choose 1}{1 \choose 0}{0 \choose 0}+{3 \choose 0}{0 \choose 0}{0 \choose 0}.}$ 

Estensioni

Si può estendere il coefficiente binomiale al caso in cui ${\displaystyle k}$  sia negativo, oppure maggiore di ${\displaystyle n}$ , ponendo:

${\displaystyle {n \choose k}=0,\qquad n,k\in \mathbb {Z} ,n>0,k<0}$  oppure ${\displaystyle k>n.}$ 

Si può anche estendere il coefficiente ai numeri reali. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità ${\displaystyle k}$  in uno di cardinalità ${\displaystyle n}$  (ovvero il numero delle disposizioni semplici di ${\displaystyle n}$  oggetti di classe ${\displaystyle k}$ ) ed il numero delle permutazioni di ${\displaystyle k}$  oggetti:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {(n)_{k}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}.}$ 

Si può porre:

${\displaystyle (a)_{k}=a(a-1)\cdots (a-k+1)=\prod _{i=0}^{k-1}(a-i),\qquad a\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z} ,k\geq 0,}$ 

ad esempio,

${\displaystyle (4{,}5)_{3}=4{,}5\cdot 3{,}5\cdot 2{,}5=39{,}375.}$ 

Con tale convenzione, si ha:

${\displaystyle {a \choose k}={\frac {(a)_{k}}{k!}}\qquad a\in \mathbb {C} ;k\in \mathbb {Z} ,k\geq 0,}$ 

ad esempio:

${\displaystyle {4{,}5 \choose 3}={\frac {(4{,}5)_{3}}{3!}}={\frac {39{,}375}{6}}=6{,}5625.}$ 

Infine, esiste una generalizzazione del coefficiente binomiale che coinvolge un parametro ${\displaystyle q}$ , denominata coefficiente binomiale gaussiano (talvolta semplicemente ${\displaystyle q}$ -binomiale).

Caso particolare

Si può notare che per ${\displaystyle k=2}$  il coefficiente binomiale equivale alla somma dei primi ${\displaystyle n-1}$  numeri naturali:

${\displaystyle {n \choose 2}={\frac {n!}{(n-2)!2!}}={\frac {n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!2}}={\frac {n(n-1)}{2}}=\sum _{i=1}^{n-1}i.}$ 

Bibliografia

• Mauro Cerasoli, Franco Eugeni; Marco Protasi, Elementi di matematica discreta, Bologna, Zanichelli, 1988.
• Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Bologna, Zanichelli, 2003.
• Sheldon M. Ross, Calcolo delle probabilità, Milano, Apogeo, 2004.
• Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Milano, Mursia 1998

Voci correlate

• Coefficiente multinomiale
• Coefficiente binomiale simmetrico
• Teorema binomiale
• Fattoriale
• Calcolo combinatorio, Combinazione, Permutazione
• Probabilità
• Variabile casuale binomiale
• Statistica
• Triangolo di Tartaglia

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Collegamenti esterni

• coefficiente binomiale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) binomial coefficients, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Opere riguardanti Binomial coefficients, su Open Library, Internet Archive.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Binomial Coefficient, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Binomial coefficients, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

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